Calcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ e ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ da ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.1.2.4

Dividi ${(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ per $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Passaggio 2.2.2

Somma $n$ e $0$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Passaggio 2.2.4

Sottrai $n$ da $n$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.5

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{1}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$r = - \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Passaggio 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 4.1

Sostituisci $n$ con $1$ in ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{0}$

Passaggio 4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} {(\frac{1}{3})}^{0}$

Passaggio 4.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Passaggio 4.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 1 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $\frac{1^{0}}{3^{0}}$ per $1$ .

$a = \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Passaggio 4.2.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = \frac{1}{3^{0}}$

Passaggio 4.2.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Passaggio 4.2.7

Dividi $1$ per $1$ .

$a = 1$

Passaggio 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

$\frac{1}{1 - - \frac{1}{3}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica $- - \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 6.1.1.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Passaggio 6.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Passaggio 6.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Passaggio 6.1.4

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 (\frac{3}{4})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$\frac{3}{4}$