Calcolo Esempi

$\sum_{x = 1}^{8} 15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{x + 1}}{a_{x}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{x}$ e $a_{x + 1}$ .

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ e ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ da ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi ${(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$ per $1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Somma $x$ e $0$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - (x - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x - - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x + 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $x$ da $x$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.6

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{1}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$r = - \frac{5}{7}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $x$ con $1$ in $15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ .

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{1 - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{0}$

Passaggio 3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{7}$ .

$a = 15 ({(- 1)}^{0} {(\frac{5}{7})}^{0})$

Passaggio 3.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{7}$ .

$a = 15 ({(- 1)}^{0} \frac{5^{0}}{7^{0}})$

Passaggio 3.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 15 (1 \frac{5^{0}}{7^{0}})$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $\frac{5^{0}}{7^{0}}$ per $1$ .

$a = 15 \frac{5^{0}}{7^{0}}$

Passaggio 3.2.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 15 \frac{1}{7^{0}}$

Passaggio 3.2.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 15 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.7

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$a = 15 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$a = 15 \cdot 1$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $15$ per $1$ .

$a = 15$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$15 \frac{1 - {(- \frac{5}{7})}^{8}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 5.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{7}$ .

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{5}{7})}^{8})}{1 - - \frac{5}{7}}$

Passaggio 5.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{7}$ .

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{5^{8}}{7^{8}})}{1 - - \frac{5}{7}}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{8}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{8}$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{8}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Passaggio 5.1.2.3

Somma $8$ e $1$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Passaggio 5.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $9$ .

$15 \frac{1 - \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Passaggio 5.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $8$ .

$15 \frac{1 - \frac{390625}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Passaggio 5.1.5

Eleva $7$ alla potenza di $8$ .

$15 \frac{1 - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Passaggio 5.1.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$15 \frac{\frac{5764801}{5764801} - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Passaggio 5.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$15 \frac{\frac{5764801 - 390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Passaggio 5.1.8

Sottrai $390625$ da $5764801$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- - \frac{5}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + 1 (\frac{5}{7})}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $\frac{5}{7}$ per $1$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + \frac{5}{7}}$

Passaggio 5.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7}{7} + \frac{5}{7}}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7 + 5}{7}}$

Passaggio 5.2.4

Somma $7$ e $5$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{12}{7}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$15 (\frac{5374176}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $12$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $12$ da $5374176$ .

$15 (\frac{12 (447848)}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$15 (\frac{12 \cdot 447848}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$15 (\frac{447848}{5764801} \cdot 7)$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di $7$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $7$ da $5764801$ .

$15 (\frac{447848}{7 (823543)} \cdot 7)$

Passaggio 5.5.2

Elimina il fattore comune.

$15 (\frac{447848}{7 \cdot 823543} \cdot 7)$

Passaggio 5.5.3

Riscrivi l'espressione.

$15 (\frac{447848}{823543})$

Passaggio 5.6

Moltiplica $15 (\frac{447848}{823543})$ .

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Passaggio 5.6.1

$15$ e $\frac{447848}{823543}$ .

$\frac{15 \cdot 447848}{823543}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $15$ per $447848$ .

$\frac{6717720}{823543}$