Calcolo Esempi

$f (x) = 11 - 3 x^{2}$ , $[0, 1]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$11 - 3 x^{2} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $11 - 3 x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x^{2} = - 11$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = - 11$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = - 11$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 11}{- 3}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 11}{- 3}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 11}{- 3}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x^{2} = \frac{11}{3}$

Passaggio 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{11}{3}}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{11}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{11}{3}}$ come $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.4.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.4.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 1.2.4.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.4.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.4.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.4.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 1.2.4.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.2.4.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.4.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{11 \cdot 3}}{3}$

Passaggio 1.2.4.4.2

Moltiplica $11$ per $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$

Passaggio 1.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{33}}{3}$

Passaggio 1.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{33}}{3}$

Passaggio 1.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{33}}{3}, - \frac{\sqrt{33}}{3}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x$ per $\frac{\sqrt{33}}{3}$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(\frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(- \frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(\frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(- \frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

Passaggio 2

Riordina $11$ e $- 3 x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2} + 11$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $0$ e $1$ .

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Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 - (0) d x$

Passaggio 4.2

Sottrai $0$ da $- 3 x^{2} + 11$ .

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 d x$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 11 d x$

Passaggio 4.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$- 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 11 d x$

Passaggio 4.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 11 d x$

Passaggio 4.6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 11 d x$

Passaggio 4.7

Applica la regola costante.

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 11 x]_{0}^{1}$

Passaggio 4.8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.8.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$- 3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 11 x]_{0}^{1}$

Passaggio 4.8.2

Calcola $11 x$ per $1$ e per $0$ .

$- 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3

Semplifica.

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Passaggio 4.8.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.3.3.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - 0) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} + 0) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.5

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.6

$- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.7

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.3.7.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.3.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.7.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1 + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.8

Moltiplica $11$ per $1$ .

$- 1 + 11 - 11 \cdot 0$

Passaggio 4.8.3.9

Moltiplica $- 11$ per $0$ .

$- 1 + 11 + 0$

Passaggio 4.8.3.10

Somma $11$ e $0$ .

$- 1 + 11$

Passaggio 4.8.3.11

Somma $- 1$ e $11$ .

$10$

Passaggio 5