Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{\ln (\ln (x))}$

Passaggio 1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\ln (\ln (x))}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\ln (\ln (x)) = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\ln (x))} = e^{0}$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\ln (\ln (x)) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \ln (x)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $\ln (x) = e^{0}$ .

$\ln (x) = e^{0}$

Passaggio 2.3.2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{e^{0}}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\ln (x) = e^{0}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{e^{0}} = x$

Passaggio 2.3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{e^{0}}$ .

$x = e^{e^{0}}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica $e^{e^{0}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x = e^{1}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Semplifica.

$x = e$

Passaggio 3

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 4

Imposta l'argomento in $\ln (\ln (x))$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\ln (x) \leq 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\ln (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{0}$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $\ln (x) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x$

Passaggio 5.2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{0}$ .

$x = e^{0}$

Passaggio 5.2.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x = 1$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x > 0$

Passaggio 5.3.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(0, \infty)$

Passaggio 5.4

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 5.5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 5.5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\ln (- 2) \leq 0$

Passaggio 5.5.1.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.5.1.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.5.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 5.5.2.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\ln (0.5) \leq 0$

Passaggio 5.5.2.3

Il lato sinistro di $- 0.69314718$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.5.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 5.5.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\ln (4) \leq 0$

Passaggio 5.5.3.3

Il lato sinistro di $1.38629436$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.5.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

Passaggio 5.6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x \leq 1$

Passaggio 6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 1, x = e$

$(- \infty, 1] \cup [e, e]$

Passaggio 7