Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 17 x^{2} + 16$ , $x = - 2$

Passaggio 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

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Passaggio 1.1

Sostituisci $x$ per $- 2$ .

$y = {(- 2)}^{4} - 17 {(- 2)}^{2} + 16$

Passaggio 1.2

Semplifica ${(- 2)}^{4} - 17 {(- 2)}^{2} + 16$ .

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Passaggio 1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$y = 16 - 17 {(- 2)}^{2} + 16$

Passaggio 1.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = 16 - 17 \cdot 4 + 16$

Passaggio 1.2.1.3

Moltiplica $- 17$ per $4$ .

$y = 16 - 68 + 16$

Passaggio 1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 1.2.2.1

Sottrai $68$ da $16$ .

$y = - 52 + 16$

Passaggio 1.2.2.2

Somma $- 52$ e $16$ .

$y = - 36$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 2$ e $y = - 36$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 17 x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 17 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 17$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 17 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 17 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 17 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 17 (2 x) + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 17$ .

$4 x^{3} - 34 x + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 34 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $4 x^{3} - 34 x$ e $0$ .

$4 x^{3} - 34 x$

Passaggio 2.4

Calcola la derivata per $x = - 2$ .

$4 {(- 2)}^{3} - 34 \cdot - 2$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot - 8 - 34 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$- 32 - 34 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $- 34$ per $- 2$ .

$- 32 + 68$

Passaggio 2.5.2

Somma $- 32$ e $68$ .

$36$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Usa il coefficiente angolare $36$ e un punto dato $(- 2, - 36)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 36) = 36 \cdot (x - (- 2))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y + 36 = 36 \cdot (x + 2)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $36 \cdot (x + 2)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y + 36 = 0 + 0 + 36 \cdot (x + 2)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 36 = 36 \cdot (x + 2)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 36 = 36 x + 36 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $36$ per $2$ .

$y + 36 = 36 x + 72$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $36$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = 36 x + 72 - 36$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $36$ da $72$ .

$y = 36 x + 36$

Passaggio 4