Calcolo Esempi

$f (x) = x - \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 1$

Passaggio 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 1 - \frac{1}{1^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica $(1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

Passaggio 1.2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = 1 - 1$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$y = 0$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{1}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$1 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$1 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$1 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.10

Sottrai $4$ da $1$ .

$1 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.11

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$1 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.12

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $0$ .

$1 + 2 x^{- 3} + 0$

Passaggio 2.2.13

Somma $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$1 + 2 x^{- 3}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 2.3.2

$2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$1 + \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$\frac{2}{x^{3}} + 1$

Passaggio 2.4

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$\frac{2}{{(1)}^{3}} + 1$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{1} + 1$

Passaggio 2.5.1.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2 + 1$

Passaggio 2.5.2

Somma $2$ e $1$ .

$3$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa il coefficiente angolare $3$ e un punto dato $(1, 0)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 3 \cdot (x - (1))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y + 0 = 3 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 3 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $3 \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 3 x + 3 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y = 3 x - 3$

Passaggio 4