Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{2 x - 3}$ , $x = 6$

Passaggio 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $x$ per $6$ .

$y = \sqrt{2 (6) - 3}$

Passaggio 1.2

Semplifica $\sqrt{2 (6) - 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica $2$ per $6$ .

$y = \sqrt{12 - 3}$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $3$ da $12$ .

$y = \sqrt{9}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = 3$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 6$ e $y = 3$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x - 3}$ come ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x - 3$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 3$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Passaggio 2.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Passaggio 2.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Passaggio 2.7.3

Sposta ${(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.11

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.12

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Passaggio 2.13

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.13.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Passaggio 2.13.2

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{2}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.13.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.13.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.14

Calcola la derivata per $x = 6$ .

$\frac{1}{{(2 (6) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.15

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.15.1

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{1}{{(12 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.15.2

Sottrai $3$ da $12$ .

$\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.15.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.15.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 2.15.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.15.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 2.15.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3^{1}}$

Passaggio 2.15.6

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{3}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Usa il coefficiente angolare $\frac{1}{3}$ e un punto dato $(6, 3)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{3} \cdot (x - (6))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 3 = \frac{1}{3} \cdot (x - 6)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $\frac{1}{3} \cdot (x - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 6)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 3 = \frac{1}{3} \cdot (x - 6)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 3 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 6$

Passaggio 3.3.1.4

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 6$

Passaggio 3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.3.1.5.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$y - 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

Passaggio 3.3.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$y - 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Passaggio 3.3.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$y - 3 = \frac{x}{3} - 2$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{3} - 2 + 3$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$y = \frac{x}{3} + 1$

Passaggio 3.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{3} x + 1$

Passaggio 4