Calcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{4} (125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ e ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ da ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi ${(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$ per $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Somma $n$ e $0$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - (n - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n - - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n + 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $n$ da $n$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.6

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{1}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$r = \frac{1}{5}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $n$ con $1$ in $(125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{1 - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{0}$

Passaggio 3.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{5}$ .

$a = 125 \frac{1^{0}}{5^{0}}$

Passaggio 3.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 125 \frac{1}{5^{0}}$

Passaggio 3.2.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 125 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.5

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$a = 125 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$a = 125 \cdot 1$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $125$ per $1$ .

$a = 125$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$125 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$ per $\frac{5}{5}$ .

$125 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}})$

Passaggio 5.1.2

Combina.

$125 \frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{5}$ nel numeratore.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$125 \frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{5}$ .

$125 \frac{5 + 5 (- \frac{1^{4}}{5^{4}})}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1^{4}}{5^{4}}$ nel numeratore.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5^{4}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $5$ da $5^{4}$ .

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$125 \frac{5 + \frac{- 1^{4}}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.5

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$125 \frac{5 + \frac{- 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$125 \frac{5 - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.8

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{125}{125}$ .

$125 \frac{5 \cdot \frac{125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.9

$5$ e $\frac{125}{125}$ .

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.11.1

Moltiplica $5$ per $125$ .

$125 \frac{\frac{625 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.11.2

Sottrai $1$ da $625$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 - 1}$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da $5$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{4}$

Passaggio 5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$125 (\frac{624}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 5.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.7.1

Scomponi $4$ da $624$ .

$125 (\frac{4 (156)}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 5.7.2

Elimina il fattore comune.

$125 (\frac{4 \cdot 156}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 5.7.3

Riscrivi l'espressione.

$125 (\frac{156}{125})$

Passaggio 5.8

Elimina il fattore comune di $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Elimina il fattore comune.

$125 (\frac{156}{125})$

Passaggio 5.8.2

Riscrivi l'espressione.

$156$