Calcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{20} {(i - 1)}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(i - 1)}^{2}$ come $(i - 1) (i - 1)$ .

$(i - 1) (i - 1)$

Passaggio 1.2

Espandi $(i - 1) (i - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $i$ per $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $i$ .

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.1.4

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$i^{2} - i - i + 1$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $i$ da $- i$ .

$i^{2} - 2 i + 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 1$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{i = 1}^{20} i^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $20$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $2$ da $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $2$ per $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $20$ e $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $10$ per $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

Passaggio 3.3.2.4

Somma $40$ e $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $210$ per $41$ .

$\frac{8610}{3}$

Passaggio 3.3.3.2

Dividi $8610$ per $3$ .

$2870$

Passaggio 4

Calcola $2 \sum_{i = 1}^{20} i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- 2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Somma $20$ e $1$ .

$- 2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $20$ per $21$ .

$- 2 (\frac{420}{2})$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{420}{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{420}{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 420$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $- 1$ per $420$ .

$- 420$

Passaggio 5

Calcola $\sum_{i = 1}^{20} 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(1) (20)$

Passaggio 5.3

Moltiplica $20$ per $1$ .

$20$

Passaggio 6

Somma i risultati delle sommatorie.

$2870 - 420 + 20$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sottrai $420$ da $2870$ .

$2450 + 20$

Passaggio 7.2

Somma $2450$ e $20$ .

$2470$