Calcolo Esempi

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2}$

Passaggio 1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2} = \sum_{x = 1}^{8} 1 + \sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x} + \sum_{x = 1}^{8} x^{2}$

Passaggio 2

Calcola $\sum_{x = 1}^{8} 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(1) (8)$

Passaggio 2.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Metti in evidenza $- 1$ nella sommatoria.

$(- 1) \sum_{x = 1}^{8} \frac{11}{x}$

Passaggio 3.2

Espandi la serie per ciascun valore di $x$ .

$- \frac{11}{1} - \frac{11}{2} - \frac{11}{3} + \dots - \frac{11}{8}$

Passaggio 3.3

Semplifica la forma estesa.

$- \frac{8371}{280}$

Passaggio 4

Calcola $\sum_{x = 1}^{8} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $2$ da $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Passaggio 4.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $8$ e $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Passaggio 4.3.2.4

Somma $16$ e $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $36$ per $17$ .

$\frac{612}{3}$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi $612$ per $3$ .

$204$

Passaggio 5

Somma i risultati delle sommatorie.

$8 - \frac{8371}{280} + 204$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scrivi $8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{8}{1} - \frac{8371}{280} + 204$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $\frac{8}{1}$ per $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8}{1} \cdot \frac{280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $\frac{8}{1}$ per $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

Passaggio 6.1.4

Scrivi $204$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1}$

Passaggio 6.1.5

Moltiplica $\frac{204}{1}$ per $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1} \cdot \frac{280}{280}$

Passaggio 6.1.6

Moltiplica $\frac{204}{1}$ per $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204 \cdot 280}{280}$

Passaggio 6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 \cdot 280 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

Passaggio 6.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $8$ per $280$ .

$\frac{2240 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $204$ per $280$ .

$\frac{2240 - 8371 + 57120}{280}$

Passaggio 6.4

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sottrai $8371$ da $2240$ .

$\frac{- 6131 + 57120}{280}$

Passaggio 6.4.2

Somma $- 6131$ e $57120$ .

$\frac{50989}{280}$