Calcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{11} 2^{i - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $2^{i + 1 - 1}$ e $2^{i - 1}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2^{i - 1}$ da $2^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.1.2.4

Dividi $2^{i + 0 - (i - 1)}$ per $1$ .

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

Passaggio 2.2.2

Somma $i$ e $0$ .

$r = 2^{i - (i - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = 2^{i - i - - 1}$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = 2^{i - i + 1}$

Passaggio 2.2.4

Sottrai $i$ da $i$ .

$r = 2^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.5

Somma $0$ e $1$ .

$r = 2^{1}$

Passaggio 2.2.6

Calcola l'esponente.

$r = 2$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 3.1

Sostituisci $i$ con $1$ in $2^{i - 1}$ .

$a = 2^{1 - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = 2^{0}$

Passaggio 3.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 1$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$1 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$ per $1$ .

$\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $11$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2048$ .

$\frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.3

Sottrai $2048$ da $1$ .

$\frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2047}{1 - 2}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{- 2047}{- 1}$

Passaggio 5.4

Dividi $- 2047$ per $- 1$ .

$2047$