Calcolo Esempi

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1$

Passaggio 1

Dividi la sommatoria per rendere il valore iniziale di $k$ uguale a $1$ .

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 - \sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$

Passaggio 2

Calcola $\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + \sum_{k = 1}^{9} 1$

Passaggio 2.2

Calcola $\sum_{k = 1}^{9} k^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 2.2.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

Passaggio 2.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

Passaggio 2.2.3.2.2

Somma $9$ e $1$ .

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

Passaggio 2.2.3.2.3

Moltiplica $3$ per $10$ .

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

Passaggio 2.2.3.2.4

Somma $18$ e $1$ .

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

Passaggio 2.2.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Moltiplica $30$ per $19$ .

$\frac{570}{2}$

Passaggio 2.2.3.3.2

Dividi $570$ per $2$ .

$285$

Passaggio 2.3

Calcola $\sum_{k = 1}^{9} 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 2.3.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(1) (9)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9$

Passaggio 2.4

Somma i risultati delle sommatorie.

$285 + 9$

Passaggio 2.5

Somma $285$ e $9$ .

$294$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Espandi la serie per ciascun valore di $k$ .

$1^{2} + 1 + 2^{2} + 1$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 1 + 2^{2} + 1$

Passaggio 3.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$2 + 2^{2} + 1$

Passaggio 3.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$2 + 4 + 1$

Passaggio 3.2.4

Somma $4$ e $1$ .

$2 + 5$

Passaggio 3.2.5

Somma $2$ e $5$ .

$7$

Passaggio 4

Sostituisci le sommatorie con i valori trovati.

$294 - 7$

Passaggio 5

Sottrai $7$ da $294$ .

$287$