Calcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{\infty} 12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{12 {(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{12 {(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}$ e ${(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ da ${(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi ${(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}$ per $1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Somma $n$ e $0$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - (n - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - n - - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - n + 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $n$ da $n$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.6

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{1}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$r = - \frac{1}{9}$

Passaggio 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Passaggio 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 4.1

Sostituisci $n$ con $1$ in $12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ .

$a = 12 {(- \frac{1}{9})}^{1 - 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = 12 {(- \frac{1}{9})}^{0}$

Passaggio 4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{9}$ .

$a = 12 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{9})}^{0})$

Passaggio 4.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{9}$ .

$a = 12 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{9^{0}})$

Passaggio 4.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 12 (1 \frac{1^{0}}{9^{0}})$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $\frac{1^{0}}{9^{0}}$ per $1$ .

$a = 12 \frac{1^{0}}{9^{0}}$

Passaggio 4.2.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 12 \frac{1}{9^{0}}$

Passaggio 4.2.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 12 (\frac{1}{1})$

Passaggio 4.2.7

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 4.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$a = 12 (\frac{1}{1})$

Passaggio 4.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$a = 12 \cdot 1$

Passaggio 4.2.8

Moltiplica $12$ per $1$ .

$a = 12$

Passaggio 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

$\frac{12}{1 - - \frac{1}{9}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica $- - \frac{1}{9}$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{12}{1 + 1 (\frac{1}{9})}$

Passaggio 6.1.1.2

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $1$ .

$\frac{12}{1 + \frac{1}{9}}$

Passaggio 6.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{12}{\frac{9}{9} + \frac{1}{9}}$

Passaggio 6.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{12}{\frac{9 + 1}{9}}$

Passaggio 6.1.4

Somma $9$ e $1$ .

$\frac{12}{\frac{10}{9}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$12 (\frac{9}{10})$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$2 (6) \frac{9}{10}$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $2$ da $10$ .

$2 \cdot 6 \frac{9}{2 \cdot 5}$

Passaggio 6.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 6 \frac{9}{2 \cdot 5}$

Passaggio 6.3.4

Riscrivi l'espressione.

$6 (\frac{9}{5})$

Passaggio 6.4

$6$ e $\frac{9}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 9}{5}$

Passaggio 6.5

Moltiplica $6$ per $9$ .

$\frac{54}{5}$