Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$ , $x = 3$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 27}$ come ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 27$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Passaggio 1.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Passaggio 1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Passaggio 1.7.3

Sposta ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Passaggio 1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [27])$

Passaggio 1.10

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Passaggio 1.11

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Passaggio 1.11.2

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = \frac{3}{{({(3)}^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(9 + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.2

Somma $9$ e $27$ .

$f' (3) = \frac{3}{36^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Passaggio 3.6

Calcola l'esponente.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f' (3) = \frac{3 (1)}{6}$

Passaggio 4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (3) = \frac{1}{2}$