Calcolo Esempi

$h (x) = 5 x^{2} {(9 x + 7)}^{4}$ , $x = 4$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2} {(9 x + 7)}^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x + 7)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x + 7)}^{4}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(9 x + 7)}^{4}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(9 x + 7)}^{4}] + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 9 x + 7$ .

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Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x + 7$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x + 7$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4

Differenzia.

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Passaggio 1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $9$ per $1$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4.5

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 + 0)) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.6.1

Somma $9$ e $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} \cdot 9) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4.6.2

Moltiplica $9$ per $4$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + {(9 x + 7)}^{4} (2 x))$

Passaggio 1.4.8

Sposta $2$ alla sinistra di ${(9 x + 7)}^{4}$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + 2 \cdot {(9 x + 7)}^{4} x)$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(9 x + 7)}^{4} x)$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $36$ per $5$ .

$180 (x^{2} ({(9 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(9 x + 7)}^{4} x)$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3} + 10 ({(9 x + 7)}^{4} x)$

Passaggio 1.5.4

Scomponi $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ da $180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3} + 10 {(9 x + 7)}^{4} x$ .

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Passaggio 1.5.4.1

Scomponi $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ da $180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3}$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 {(9 x + 7)}^{4} x$

Passaggio 1.5.4.2

Scomponi $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ da $10 {(9 x + 7)}^{4} x$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 x {(9 x + 7)}^{3} (9 x + 7)$

Passaggio 1.5.4.3

Scomponi $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ da $10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 x {(9 x + 7)}^{3} (9 x + 7)$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x + 9 x + 7)$

Passaggio 1.5.5

Somma $18 x$ e $9 x$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (27 x + 7)$

Passaggio 2

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$h' (4) = 10 (4) {(9 (4) + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Passaggio 3

Moltiplica $10$ per $4$ .

$h' (4) = 40 {(9 (4) + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Passaggio 4

Moltiplica $9$ per $4$ .

$h' (4) = 40 {(36 + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Passaggio 5

Somma $36$ e $7$ .

$h' (4) = 40 \cdot (43^{3} (27 (4) + 7))$

Passaggio 6

Eleva $43$ alla potenza di $3$ .

$h' (4) = 40 \cdot (79507 (27 (4) + 7))$

Passaggio 7

Moltiplica $40$ per $79507$ .

$h' (4) = 3180280 (27 (4) + 7)$

Passaggio 8

Moltiplica $27$ per $4$ .

$h' (4) = 3180280 (108 + 7)$

Passaggio 9

Somma $108$ e $7$ .

$h' (4) = 3180280 \cdot 115$

Passaggio 10

Moltiplica $3180280$ per $115$ .

$h' (4) = 365732200$