Calcolo Esempi

$f (r) = {(2 r)}^{\frac{2}{3}}$ , $r = 5$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $2$ da $2 r$ .

$\frac{d}{d r} [{(2 (r))}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 (r)$ .

$\frac{d}{d r} [2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $2^{\frac{2}{3}}$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $r$ è $2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 3}{3}})$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{- 1}{3}})$

Passaggio 1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 1.9

$\frac{2}{3}$ e $r^{- \frac{1}{3}}$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.10

$2^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}} (2 r^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Passaggio 1.11

Moltiplica $2^{\frac{2}{3}}$ per $2$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.11.1

Sposta $2$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.11.2

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 1.11.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.11.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{1 + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.11.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.11.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{3 + 2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.11.5

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.12

Sposta $r^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 r^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Sostituisci la variabile $r$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 {(5)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3

Rimuovi le parentesi.

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$