Calcolo Esempi

$f (x) = 5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ , $x = 2$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$0 - (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 3 x + 3$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} - 3 x + 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} - 3 x + 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Passaggio 1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])))$

Passaggio 1.2.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + 0)))$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 + 0)))$

Passaggio 1.2.10

Somma $2 x - 3$ e $0$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

Passaggio 1.2.11

$3$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ .

$0 - (\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

Passaggio 1.2.12

${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ e $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ .

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Passaggio 1.2.13

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ .

$0 - (\frac{3 \cdot {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Passaggio 1.2.14

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ e ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

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Passaggio 1.2.14.1

Scomponi ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ da $3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ .

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Passaggio 1.2.14.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.14.2.1

Scomponi ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ da ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

Passaggio 1.2.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

Passaggio 1.2.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 - (\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3))$

$0 - \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Sottrai $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ da $0$ .

$- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

Passaggio 1.3.2

Riordina i fattori di $- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ .

$- (2 x - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$(- (2 x) - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(- 2 x - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $- 2 x + 3$ per $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$ .

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Passaggio 1.3.7

Sposta $3$ alla sinistra di $- 2 x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Passaggio 1.3.8

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Passaggio 1.3.9

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Passaggio 1.3.10

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{3 (- (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Passaggio 1.3.11

Riscrivi $- (2 x - 3)$ come $- 1 (2 x - 3)$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Passaggio 1.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 (2 x - 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Passaggio 2

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - \frac{3 (2 (2) - 3)}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 (4 - 3)}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Passaggio 3.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 3 \cdot 2 + 3}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 6 + 3}$

Passaggio 4.3

Sottrai $6$ da $4$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{- 2 + 3}$

Passaggio 4.4

Somma $- 2$ e $3$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{1}$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (2) = - \frac{3}{1}$

Passaggio 5.2

Dividi $3$ per $1$ .

$f' (2) = - 1 \cdot 3$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (2) = - 3$