Calcolo Esempi

$x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Passaggio 1

Scrivi $x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ come funzione.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + 4$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.4.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 2.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 2.1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 2.1.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 2.1.9

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.2.1

$x$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.2

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.2.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.2.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.3.4

Sottrai $2$ da $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.4

$4$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.5

Per scrivere $x^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.6

$x^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.8

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.1.10.2.9

Somma $3 x^{\frac{1}{3}}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2.9

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2.10

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2.11

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Passaggio 2.2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Passaggio 2.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Passaggio 2.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.9.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.11

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.3.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $x^{- \frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.13.1

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Passaggio 2.2.3.13.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.3.13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.3.13.4

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.3.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.3.14

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Passaggio 2.2.3.15

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 2.2.3.16

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 2.2.3.17

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$

Passaggio 3.2.2

Poiché $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $9, 9, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

$9$ presenta fattori di $3$ e $3$ .

$3 \cdot 3$

Passaggio 3.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.6

Il minimo comune multiplo di $9, 9, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3 \cdot 3$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9$

Passaggio 3.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo di $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ è la parte numerica $9$ moltiplicata per la parte variabile.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $9 x^{\frac{5}{3}}$ ciascun termine in $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ per $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Scomponi $x^{\frac{2}{3}}$ da $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.4

Dividi $3$ per $3$ .

$4 x^{1} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.5

Semplifica.

$4 x - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ nel numeratore.

$4 x + \frac{- 8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$4 x + \frac{- 8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 3.3.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x - 8 = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Moltiplica $9$ per $0$ .

$4 x - 8 = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 x - 8 = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 8$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 8$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{8}{4}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Dividi $8$ per $4$ .

$x = 2$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2$ in $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = {(2)}^{\frac{1}{3}} ((2) + 4)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Somma $2$ e $4$ .

$f (2) = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 6$

Passaggio 4.1.2.2

Sposta $6$ alla sinistra di $2^{\frac{1}{3}}$ .

$f (2) = 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $2$ in $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ è $(2, 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2, 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.9$ nell'espressione.

$f'' (1.9) = \frac{4}{9 {(1.9)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $1.9$ alla potenza di $\frac{2}{3}$ .

$f'' (1.9) = \frac{4}{9 \cdot 1.53403664} - \frac{8}{9 {(1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $9$ per $1.53403664$ .

$f'' (1.9) = \frac{4}{13.80632979} - \frac{8}{9 {(1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.3

Dividi $4$ per $13.80632979$ .

$f'' (1.9) = 0.28972218 - \frac{8}{9 {(1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $1.9$ alla potenza di $\frac{5}{3}$ .

$f'' (1.9) = 0.28972218 - \frac{8}{9 \cdot 2.91466962}$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $9$ per $2.91466962$ .

$f'' (1.9) = 0.28972218 - \frac{8}{26.23202661}$

Passaggio 6.2.1.6

Dividi $8$ per $26.23202661$ .

$f'' (1.9) = 0.28972218 - 1 \cdot 0.30497071$

Passaggio 6.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0.30497071$ .

$f'' (1.9) = 0.28972218 - 0.30497071$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $0.30497071$ da $0.28972218$ .

$f'' (1.9) = - 0.01524853$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.01524853$ .

$- 0.01524853$

Passaggio 6.3

Per $1.9$ , la derivata seconda è $- 0.01524853$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 2)$ .

Decrescente su $(- \infty, 2)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.1$ nell'espressione.

$f'' (2.1) = \frac{4}{9 {(2.1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2.1$ alla potenza di $\frac{2}{3}$ .

$f'' (2.1) = \frac{4}{9 \cdot 1.63988299} - \frac{8}{9 {(2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $9$ per $1.63988299$ .

$f'' (2.1) = \frac{4}{14.75894698} - \frac{8}{9 {(2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2.1.3

Dividi $4$ per $14.75894698$ .

$f'' (2.1) = 0.27102204 - \frac{8}{9 {(2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $2.1$ alla potenza di $\frac{5}{3}$ .

$f'' (2.1) = 0.27102204 - \frac{8}{9 \cdot 3.44375429}$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $9$ per $3.44375429$ .

$f'' (2.1) = 0.27102204 - \frac{8}{30.99378865}$

Passaggio 7.2.1.6

Dividi $8$ per $30.99378865$ .

$f'' (2.1) = 0.27102204 - 1 \cdot 0.25811623$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0.25811623$ .

$f'' (2.1) = 0.27102204 - 0.25811623$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $0.25811623$ da $0.27102204$ .

$f'' (2.1) = 0.01290581$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.01290581$ .

$0.01290581$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $2.1$ , la derivata seconda è $0.01290581$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(2, 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}})$ .

$(2, 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 9