Calcolo Esempi

$\frac{x}{x^{2} + 16}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x}{x^{2} + 16}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

$\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica $x^{2} + 16$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.6

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.7

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (2 (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x + \frac{d}{d x} [16]))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.4

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) (2 \cdot (x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 2 {(x^{2} + 16)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.2

Riscrivi ${(x^{2} + 16)}^{2}$ come $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ .

$\frac{- 2 ((x^{2} + 16) (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.3

Espandi $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 16) + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.2

Sposta $16$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.3

Moltiplica $16$ per $16$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 16 x^{2} + 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4.2

Somma $16 x^{2}$ e $16 x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (32 x^{2}) - 2 \cdot 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.6.1

Moltiplica $32$ per $- 2$ .

$\frac{(- 2 x^{4} - 64 x^{2} - 2 \cdot 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.6.2

Moltiplica $- 2$ per $256$ .

$\frac{(- 2 x^{4} - 64 x^{2} - 512) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x^{4} x - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 x^{1 + 4} - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 (x \cdot x^{2}) - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 (x^{1} x^{2}) - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{1 + 2} - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.9.2

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.10

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.10.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2} x^{1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.10.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2 + 1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.10.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.11

Espandi $(4 x^{2} - 64) (x^{3} + 16 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} (x^{3} + 16 x) - 64 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (16 x) - 64 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{2} x - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 (x \cdot x^{2}) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 (x^{1} x^{2}) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{1 + 2} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{3} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.4

Moltiplica $4$ per $16$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.5

Moltiplica $16$ per $- 64$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.2

Sottrai $64 x^{3}$ da $64 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 0 - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.3

Somma $4 x^{5}$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.2

Somma $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.3

Sottrai $1024 x$ da $- 512 x$ .

$\frac{2 x^{5} - 64 x^{3} - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5} - 64 x^{3} - 1536 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 64 x^{3} - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 64 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2}) - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.1.3

Scomponi $2 x$ da $- 1536 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2}) + 2 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.1.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2})$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 2 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.1.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 2 x (- 768)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$\frac{2 x (u^{2} - 32 u - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.4

Scomponi $u^{2} - 32 u - 768$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 768$ e la cui somma è $- 32$ .

$- 48, 16$

Passaggio 2.2.5.4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{2 x ((u - 48) (u + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 16$ e ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.5.1

Scomponi $x^{2} + 16$ da $2 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)$ .

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 16$ da ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 2.2.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 2.2.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x (x^{2} - 48) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 48 = 0$

Passaggio 3.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.3.3

Imposta $x^{2} - 48$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Imposta $x^{2} - 48$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 48 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Risolvi $x^{2} - 48 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Somma $48$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 48$

Passaggio 3.3.3.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{48}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{48}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \pm \sqrt{16 (3)}$

Passaggio 3.3.3.2.3.1.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Passaggio 3.3.3.2.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 4 \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 4 \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.3.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 4 \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 4 \sqrt{3}, - 4 \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (x^{2} - 48) = 0$ vera.

$x = 0, 4 \sqrt{3}, - 4 \sqrt{3}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 16}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 16}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Somma $0$ e $16$ .

$f (0) = \frac{0}{16}$

Passaggio 4.1.2.2

Dividi $0$ per $16$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $4 \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4 \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{{(4 \sqrt{3})}^{2} + 16}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 \sqrt{3}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16}$

Passaggio 4.3.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16}$

Passaggio 4.3.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Passaggio 4.3.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Passaggio 4.3.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Passaggio 4.3.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $16$ per $3$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{48 + 16}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Somma $48$ e $16$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{64}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{3}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 (\sqrt{3})}{64}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $64$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 16}$

Passaggio 4.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 16}$

Passaggio 4.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{16}$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $\frac{\sqrt{3}}{16}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{16}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $4 \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ è $(4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$

Passaggio 4.5

Sostituisci $- 4 \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4 \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{{(- 4 \sqrt{3})}^{2} + 16}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{{(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Passaggio 4.5.2.1.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Passaggio 4.5.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16}$

Passaggio 4.5.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16}$

Passaggio 4.5.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Passaggio 4.5.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Passaggio 4.5.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Passaggio 4.5.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Passaggio 4.5.2.1.4

Moltiplica $16$ per $3$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{48 + 16}$

Passaggio 4.5.2.1.5

Somma $48$ e $16$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{64}$

Passaggio 4.5.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{64}$

Passaggio 4.5.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $64$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{4 (16)}$

Passaggio 4.5.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{4 \cdot 16}$

Passaggio 4.5.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 4 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{16}$

Passaggio 4.5.2.3

La risposta finale è $- \frac{\sqrt{3}}{16}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{16}$

Passaggio 4.6

Il punto trovato sostituendo $- 4 \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ è $(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$

Passaggio 4.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16}), (- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 4 \sqrt{3}) \cup (- 4 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 4 \sqrt{3}) \cup (4 \sqrt{3}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 7.02820323$ nell'espressione.

$f'' (- 7.02820323) = \frac{2 (- 7.02820323) ({(- 7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 7.02820323$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 14.05640646 ({(- 7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 14.05640646$ per ${(- 7.02820323)}^{2} - 48$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 7.02820323$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{(49.39564064 + 16)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $49.39564064$ e $16$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{65.39564064}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $65.39564064$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{279670.33076553}$

Passaggio 6.2.3

Dividi $- 19.61769219$ per $279670.33076553$ .

$f'' (- 7.02820323) = - 0.00007014$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 0.00007014$ .

$- 0.00007014$

Passaggio 6.3

Per $- 7.02820323$ , la derivata seconda è $- 7.01457753 E - 5$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.46410161$ nell'espressione.

$f'' (- 3.46410161) = \frac{2 (- 3.46410161) ({(- 3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 3.46410161$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{- 6.92820323 ({(- 3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 6.92820323$ per ${(- 3.46410161)}^{2} - 48$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $- 3.46410161$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{{(12 + 16)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $12$ e $16$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{28^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $28$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{21952}$

Passaggio 7.2.3

Dividi $249.41531628$ per $21952$ .

$f'' (- 3.46410161) = 0.01136184$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $0.01136184$ .

$0.01136184$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- 3.46410161$ , la derivata seconda è $0.01136184$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ .

Crescente su $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 4 \sqrt{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.46410161$ nell'espressione.

$f'' (3.46410161) = \frac{2 (3.46410161) ({(3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $2$ per $3.46410161$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{6.92820323 ({3.46410161}^{2} - 48)}{{({3.46410161}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $6.92820323$ per ${3.46410161}^{2} - 48$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{{({3.46410161}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $3.46410161$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{{(12 + 16)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $12$ e $16$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{28^{3}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $28$ alla potenza di $3$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{21952}$

Passaggio 8.2.3

Dividi $- 249.41531628$ per $21952$ .

$f'' (3.46410161) = - 0.01136184$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 0.01136184$ .

$- 0.01136184$

Passaggio 8.3

Per $3.46410161$ , la derivata seconda è $- 0.01136184$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, 4 \sqrt{3})$ .

Decrescente su $(0, 4 \sqrt{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4 \sqrt{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7.02820323$ nell'espressione.

$f'' (7.02820323) = \frac{2 (7.02820323) ({(7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $2$ per $7.02820323$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{14.05640646 ({7.02820323}^{2} - 48)}{{({7.02820323}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $14.05640646$ per ${7.02820323}^{2} - 48$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{({7.02820323}^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Eleva $7.02820323$ alla potenza di $2$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{(49.39564064 + 16)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $49.39564064$ e $16$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{65.39564064}^{3}}$

Passaggio 9.2.2.3

Eleva $65.39564064$ alla potenza di $3$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{279670.33076553}$

Passaggio 9.2.3

Dividi $19.61769219$ per $279670.33076553$ .

$f'' (7.02820323) = 0.00007014$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $0.00007014$ .

$0.00007014$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $7.02820323$ , la derivata seconda è $7.01457753 E - 5$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(4 \sqrt{3}, \infty)$ .

Crescente su $(4 \sqrt{3}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 10

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16}), (0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$ .

$(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16}), (0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$

Passaggio 11