Calcolo Esempi

$f (x) = - {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $- {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to \infty} - {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to \infty} {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$

Passaggio 3.2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi ${(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ come $e^{\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})}$ .

$- lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})}$

Passaggio 3.2.2

Espandi $\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})$ spostando $e^{- x}$ fuori dal logaritmo.

$- lim_{x \to \infty} e^{e^{- x} \ln (x - 0.086)}$

Passaggio 3.3

Sposta il limite nell'esponente.

$- e^{lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x - 0.086)}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $e^{- x} \ln (x - 0.086)$ come $\frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}}}$

Passaggio 3.5

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$- e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x - 0.086)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$- e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

Passaggio 3.5.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$- e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$- e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.5.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 0.086)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 0.086)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 0.086$ .

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Passaggio 3.5.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 0.086$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 0.086$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 0.086$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.086]$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.086])}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (1 + \frac{d}{d x} [- 0.086])}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.5

Poiché $- 0.086$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.086$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.7

Moltiplica $\frac{1}{x - 0.086}$ per $1$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.8

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086}}{e^{x}}}$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x - 0.086} \cdot \frac{1}{e^{x}}}$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $\frac{1}{x - 0.086}$ per $\frac{1}{e^{x}}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 0.086) e^{x}}}$

Passaggio 3.5.6

Riordina i fattori in $\frac{1}{(x - 0.086) e^{x}}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x} (x - 0.086)}}$

Passaggio 3.6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{x} (x - 0.086)}$ tende a $0$ .

$- e^{0}$

Passaggio 3.7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.7.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = - 1$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali: $y = - 1$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7