Calcolo Esempi

$f (x) = (1 - x) e^{x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $e^{x} - x e^{x}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to - \infty} e^{x} - x e^{x}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} x e^{x}$

Passaggio 3.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $0$ .

$0 - lim_{x \to - \infty} x e^{x}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $x e^{x}$ come $\frac{x}{e^{- x}}$ .

$0 - lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Passaggio 3.4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$0 - \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Passaggio 3.4.1.2

Il limite a meno infinito di un polinomio con grado dispari il cui coefficiente direttivo è meno infinito.

$0 - \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Passaggio 3.4.1.3

Poiché l'esponente $- x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{- x}$ tende a $\infty$ .

$0 - \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 3.4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$0 - \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 3.4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$0 - lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 3.4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Passaggio 3.4.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 3.4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$0 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 3.4.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 3.4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$0 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 3.4.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.4.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Passaggio 3.4.3.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$0 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Passaggio 3.4.3.8

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$0 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Passaggio 3.4.4

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 3.4.4.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$0 - lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Passaggio 3.4.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Passaggio 3.5

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$0 + 1 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Passaggio 3.6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{- x}}$ tende a $0$ .

$0 + 1 \cdot 0$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 - 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $0$ da $0$ .

$0$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 0$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7