Calcolo Esempi

$9 {(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 18$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $18$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{9 {(x - 3)}^{2}}{18} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{2} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{18} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 3 \sqrt{2}$

$b = \sqrt{2}$

$k = - 2$

$h = 3$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(3, - 2)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(3 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{3^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{9 \cdot 2^{1} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{9 \cdot 2 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $9$ per $2$ .

$\sqrt{18 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{18 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{18 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{18 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{18 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{18 - 2^{1}}$

Passaggio 5.3.4.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{18 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\sqrt{18 - 2}$

Passaggio 5.3.5.2

Sottrai $2$ da $18$ .

$\sqrt{16}$

Passaggio 5.3.5.3

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Passaggio 5.3.5.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(3, - 2 + 3 \sqrt{2})$

Passaggio 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(3, - 2 - (3 \sqrt{2}))$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$(3, - 2 - 3 \sqrt{2})$

Passaggio 6.6

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(3, - 2 + 3 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 2 - 3 \sqrt{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(3, - 2 + 3 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 2 - 3 \sqrt{2})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(3, - 2 + 4)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(3, 2)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(3, - 2 - (4))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(3, - 6)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(3, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(3, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(3, - 6)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(3 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 2^{1} - {\sqrt{2}}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $9$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{18 - {\sqrt{2}}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{18 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{18 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{18 - 2^{\frac{2}{2}}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{18 - 2^{\frac{2}{2}}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{18 - 2^{1}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{18 - 1 \cdot 2}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{18 - 2}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.7

Sottrai $2$ da $18$ .

$\frac{\sqrt{16}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.8

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.9

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{4}{3 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\frac{4}{3 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Moltiplica $\frac{4}{3 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.3.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Passaggio 8.3.3.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Passaggio 8.3.3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 \sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 8.3.3.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.3.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.3.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.3.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.3.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 8.3.3.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{4 \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Scomponi $2$ da $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $3 \cdot 2$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(3, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, - 2 + 3 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 2 - 3 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(3, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(3, - 6)$

Eccentricità: $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 10