Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 8$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $2 x^{2} + 12 x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = 12$

$c = - 8$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (2)}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{6}{2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$d = 3$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 8 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$e = - 8 - \frac{144}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$e = - 8 - \frac{144}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3

Dividi $144$ per $8$ .

$e = - 8 - 1 \cdot 18$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$e = - 8 - 18$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Sottrai $18$ da $- 8$ .

$e = - 26$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $2 {(x + 3)}^{2} - 26$ .

$2 {(x + 3)}^{2} - 26$

Passaggio 1.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = 2 {(x + 3)}^{2} - 26$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 2$

$h = - 3$

$k = - 26$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 3, - 26)$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{8}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 3, - \frac{207}{8})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - 3$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{209}{8}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 3, - 26)$

Fuoco: $(- 3, - \frac{207}{8})$

Asse di simmetria: $x = - 3$

Direttrice: $y = - \frac{209}{8}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 3, - 26)$

Fuoco: $(- 3, - \frac{207}{8})$

Asse di simmetria: $x = - 3$

Direttrice: $y = - \frac{209}{8}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4) - 8$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f (- 4) = 2 \cdot 16 + 12 (- 4) - 8$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$f (- 4) = 32 + 12 (- 4) - 8$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $12$ per $- 4$ .

$f (- 4) = 32 - 48 - 8$

Passaggio 2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sottrai $48$ da $32$ .

$f (- 4) = - 16 - 8$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $8$ da $- 16$ .

$f (- 4) = - 24$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $- 24$ .

$- 24$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = - 4$ è $- 24$ .

$y = - 24$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = 2 {(- 5)}^{2} + 12 (- 5) - 8$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5) = 2 \cdot 25 + 12 (- 5) - 8$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $2$ per $25$ .

$f (- 5) = 50 + 12 (- 5) - 8$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $12$ per $- 5$ .

$f (- 5) = 50 - 60 - 8$

Passaggio 2.5.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $60$ da $50$ .

$f (- 5) = - 10 - 8$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $8$ da $- 10$ .

$f (- 5) = - 18$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $- 18$ .

$- 18$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = - 5$ è $- 18$ .

$y = - 18$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2) - 8$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 4 + 12 (- 2) - 8$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- 2) = 8 + 12 (- 2) - 8$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica $12$ per $- 2$ .

$f (- 2) = 8 - 24 - 8$

Passaggio 2.8.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Sottrai $24$ da $8$ .

$f (- 2) = - 16 - 8$

Passaggio 2.8.2.2

Sottrai $8$ da $- 16$ .

$f (- 2) = - 24$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è $- 24$ .

$- 24$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $- 24$ .

$y = - 24$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) - 8$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 + 12 (- 1) - 8$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 1) = 2 + 12 (- 1) - 8$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - 12 - 8$

Passaggio 2.11.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Sottrai $12$ da $2$ .

$f (- 1) = - 10 - 8$

Passaggio 2.11.2.2

Sottrai $8$ da $- 10$ .

$f (- 1) = - 18$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è $- 18$ .

$- 18$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $- 18$ .

$y = - 18$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 18 \\ - 4 & - 24 \\ - 3 & - 26 \\ - 2 & - 24 \\ - 1 & - 18 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 3, - 26)$

Fuoco: $(- 3, - \frac{207}{8})$

Asse di simmetria: $x = - 3$

Direttrice: $y = - \frac{209}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 18 \\ - 4 & - 24 \\ - 3 & - 26 \\ - 2 & - 24 \\ - 1 & - 18 \end{array}$

Passaggio 4