Calcolo Esempi

$f (x) = π \cos (π x) + 1$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = π$

$b = π$

$c = 0$

$d = 1$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $π$

Passaggio 3

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il periodo di $π \cos (π x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.1.2

Sostituisci $b$ con $π$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| π |}$

Passaggio 3.1.3

$π$ corrisponde approssimativamente a $3.14159265$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{π}$

Passaggio 3.1.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{π}$

Passaggio 3.1.4.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 3.2

Trova il periodo di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci $b$ con $π$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| π |}$

Passaggio 3.2.3

$π$ corrisponde approssimativamente a $3.14159265$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{π}$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{π}$

Passaggio 3.2.4.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 3.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$2$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{0}{π}$

Passaggio 4.3

Dividi $0$ per $π$ .

Sfasamento: $0$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $π$

Periodo: $2$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: $1$

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = π \cos (π (0)) + 1$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$f (0) = π \cos (0) + 1$

Passaggio 6.1.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = π \cdot 1 + 1$

Passaggio 6.1.2.1.3

Moltiplica $π$ per $1$ .

$f (0) = π + 1$

Passaggio 6.1.2.2

La risposta finale è $π + 1$ .

$π + 1$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = π \cos (π (\frac{1}{2})) + 1$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = π \cos (\frac{π}{2}) + 1$

Passaggio 6.2.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = π \cdot 0 + 1$

Passaggio 6.2.2.1.3

Moltiplica $π$ per $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = 0 + 1$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 1$

Passaggio 6.2.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = π \cos (π (1)) + 1$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$f (1) = π \cos (π) + 1$

Passaggio 6.3.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (1) = π (- \cos (0)) + 1$

Passaggio 6.3.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (1) = π (- 1 \cdot 1) + 1$

Passaggio 6.3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = π \cdot - 1 + 1$

Passaggio 6.3.2.1.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $π$ .

$f (1) = - 1 \cdot π + 1$

Passaggio 6.3.2.1.6

Riscrivi $- 1 π$ come $- π$ .

$f (1) = - π + 1$

Passaggio 6.3.2.2

La risposta finale è $- π + 1$ .

$- π + 1$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = π \cos (π (\frac{3}{2})) + 1$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

$π$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = π \cos (\frac{π \cdot 3}{2}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{3}{2}) = π \cos (\frac{3 \cdot π}{2}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3}{2}) = π \cos (\frac{π}{2}) + 1$

Passaggio 6.4.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = π \cdot 0 + 1$

Passaggio 6.4.2.1.5

Moltiplica $π$ per $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = 0 + 1$

Passaggio 6.4.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = 1$

Passaggio 6.4.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = π \cos (π (2)) + 1$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (2) = π \cos (2 \cdot π) + 1$

Passaggio 6.5.2.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (2) = π \cos (0) + 1$

Passaggio 6.5.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (2) = π \cdot 1 + 1$

Passaggio 6.5.2.1.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$f (2) = π + 1$

Passaggio 6.5.2.2

La risposta finale è $π + 1$ .

$π + 1$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & π + 1 \\ \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & - π + 1 \\ \frac{3}{2} & 1 \\ 2 & π + 1 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $π$

Periodo: $2$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & π + 1 \\ \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & - π + 1 \\ \frac{3}{2} & 1 \\ 2 & π + 1 \end{array}$

Passaggio 8