Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{10 \ln (x - 1)}{x}$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ è indefinita.

$x = 0, x = 1$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $1$ da sinistra e $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $1$ da destra, allora $x = 1$ è un asintoto verticale.

$x = 1$

Passaggio 1.3

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Passaggio 1.5

Poiché $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

$y = 0$

Passaggio 1.6

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 1$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Asintoti verticali: $x = 1$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{10 \ln ((2) - 1)}{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2$ da $10 \ln ((2) - 1)$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2 (1)}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) - 1)}{1}$

Passaggio 2.2.1.2.4

Dividi $5 \ln ((2) - 1)$ per $1$ .

$f (2) = 5 \ln ((2) - 1)$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (2) = 5 \ln (1)$

Passaggio 2.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (2) = 5 \cdot 0$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f (2) = 0$

Passaggio 2.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Converti $0$ in decimale.

$y = 0$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{10 \ln ((3) - 1)}{3}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $10 \ln (3 - 1)$ spostando $10$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 - 1)}^{10})}{3}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (2^{10})}{3}$

Passaggio 3.2.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $10$ .

$f (3) = \frac{\ln (1024)}{3}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{\ln (1024)}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (1024)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (1024)$

Passaggio 3.2.4

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (1024)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \ln (1024^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 3.2.5

La risposta finale è $\ln (1024^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (1024^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 3.3

Converti $\ln (1024^{\frac{1}{3}})$ in decimale.

$y = 2.3104906$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = \frac{10 \ln ((4) - 1)}{4}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Scomponi $2$ da $10 \ln ((4) - 1)$ .

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{4}$

Passaggio 4.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{2 (2)}$

Passaggio 4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (4) = \frac{5 \ln ((4) - 1)}{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $5 \ln (4 - 1)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$f (4) = \frac{\ln ({(4 - 1)}^{5})}{2}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $1$ da $4$ .

$f (4) = \frac{\ln (3^{5})}{2}$

Passaggio 4.2.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$f (4) = \frac{\ln (243)}{2}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi $\frac{\ln (243)}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (243)$ .

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot \ln (243)$

Passaggio 4.2.5

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (243)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$f (4) = \ln (243^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.2.6

La risposta finale è $\ln (243^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln (243^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.3

Converti $\ln (243^{\frac{1}{2}})$ in decimale.

$y = 2.74653072$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = 1$ e i punti $(2, 0), (3, 2.3104906), (4, 2.74653072)$ .

Asintoto verticale: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 0 \\ 3 & 2.31 \\ 4 & 2.747 \end{array}$

Passaggio 6