Calcolo Esempi

$y = \frac{1 + x}{1 - x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $1 - x$ per $1$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10.2

Moltiplica $1 + x$ per $1$ .

$\frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.1

Moltiplica $1 + x$ per $1$ .

$\frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12.3

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.4.1

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12.4.2

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ come ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = - x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x + 1$ .

$2 (- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- 4 ({(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + 0)$

Passaggio 2.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Somma $- 1$ e $0$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.7.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$4 {(- x + 1)}^{- 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2

$4$ e $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ come ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = - x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$4 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x + 1$ .

$4 (- 3 {(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$- 12 ({(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + 0)$

Passaggio 3.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Somma $- 1$ e $0$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.7.2

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$12 {(- x + 1)}^{- 4}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

$12$ e $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ come ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{4 \cdot - 1}]$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 4}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = - x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x + 1$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$12 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x + 1$ .

$12 (- 4 {(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Passaggio 4.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 4$ per $12$ .

$- 48 ({(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + 0)$

Passaggio 4.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Somma $- 1$ e $0$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} \cdot - 1$

Passaggio 4.3.7.2

Moltiplica $- 1$ per $- 48$ .

$48 {(- x + 1)}^{- 5}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 \frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.4.2

$48$ e $\frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{48}{{(- x + 1)}^{5}}$