Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} e^{2 x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $x^{2} e^{2 x}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to - \infty} x^{2} e^{2 x}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $x^{2} e^{2 x}$ come $\frac{x^{2}}{e^{- 2 x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 3.2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 3.2.1.2

Il limite che tende a meno infinito di un polinomio con grado pari il cui coefficiente direttivo è positivo è infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 3.2.1.3

Poiché l'esponente $- 2 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{- 2 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 3.2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 3.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 3.2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 3.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 3.2.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.2.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)}$

Passaggio 3.2.3.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- 2 x} \cdot - 2}$

Passaggio 3.2.3.7

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- 2 x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 (x)}{- 2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 3.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 e^{- 2 x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 (x)}{2 (- e^{- 2 x})}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 (- e^{- 2 x})}$

Passaggio 3.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- e^{- 2 x}}$

Passaggio 3.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 3.3

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 3.4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$- \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 3.4.1.2

Il limite a meno infinito di un polinomio con grado dispari il cui coefficiente direttivo è meno infinito.

$- \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 3.4.1.3

Poiché l'esponente $- 2 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{- 2 x}$ tende a $\infty$ .

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 3.4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 3.4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$- lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 3.4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 3.4.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 3.4.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 3.4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 3.4.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \cdot - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.4.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \cdot - 2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.3.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \cdot - 2}$

Passaggio 3.4.3.7

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- 2 x}$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 3.5

Sposta il termine $\frac{1}{- 2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{1}{- 2} lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 3.6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{- 2} \cdot 0$

Passaggio 3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \cdot 0$

Passaggio 3.7.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 3.7.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$0$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 0$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7