Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $x^{2} e^{- x}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to \infty} x^{2} e^{- x}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $x^{2} e^{- x}$ come $\frac{x^{2}}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

Passaggio 3.2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 3.2.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 3.2.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.2.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

Passaggio 3.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Passaggio 3.4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 3.4.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 3.4.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.4.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 3.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{x}}$ tende a $0$ .

$2 \cdot 0$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 0$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7