Calcolo Esempi

$y = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ è indefinita.

$x \leq 0$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Passaggio 1.5

Poiché $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

$y = 0$

Passaggio 1.6

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{\ln (1)}{{(1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (1) = \frac{0}{1^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{0}{1}$

Passaggio 2.2.3

Dividi $0$ per $1$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 2.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Converti $0$ in decimale.

$y = 0$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{\ln (2)}{{(2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{4}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{\ln (2)}{4}$ come $\frac{1}{4} \ln (2)$ .

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (2)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica $\frac{1}{4} \ln (2)$ spostando $\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

$f (2) = \ln (2^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 3.2.4

La risposta finale è $\ln (2^{\frac{1}{4}})$ .

$\ln (2^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 3.3

Converti $\ln (2^{\frac{1}{4}})$ in decimale.

$y = 0.17328679$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{\ln (3)}{{(3)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{9}$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi $\frac{\ln (3)}{9}$ come $\frac{1}{9} \ln (3)$ .

$f (3) = \frac{1}{9} \cdot \ln (3)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica $\frac{1}{9} \ln (3)$ spostando $\frac{1}{9}$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \ln (3^{\frac{1}{9}})$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $\ln (3^{\frac{1}{9}})$ .

$\ln (3^{\frac{1}{9}})$

Passaggio 4.3

Converti $\ln (3^{\frac{1}{9}})$ in decimale.

$y = 0.12206803$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = 0$ e i punti $(1, 0), (2, 0.17328679), (3, 0.12206803)$ .

Asintoto verticale: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.173 \\ 3 & 0.122 \end{array}$

Passaggio 6