Calcolo Esempi

$y = - 2 \cos (\frac{3}{4} x)$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = - 2$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 0$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $2$

Passaggio 3

Trova il periodo di $- 2 \cos (\frac{3 x}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $\frac{3}{4}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{4} |}$

Passaggio 3.3

$\frac{3}{4}$ corrisponde approssimativamente a $0.75$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{3}{4}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{4}{3}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2 π \frac{4}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

$\frac{4}{3}$ e $2$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3} π$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8}{3} π$

Passaggio 3.5.3

$\frac{8}{3}$ e $π$ .

$\frac{8 π}{3}$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{0}{\frac{3}{4}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $0 (\frac{4}{3})$

Passaggio 4.4

Moltiplica $0$ per $\frac{4}{3}$ .

Sfasamento: $0$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $2$

Periodo: $\frac{8 π}{3}$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (0)}{4})$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Scomponi $4$ da $3 (0)$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{4 (3 \cdot (0))}{4})$

Passaggio 6.1.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{4 (3 \cdot (0))}{4 (1)})$

Passaggio 6.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{4 (3 \cdot (0))}{4 \cdot 1})$

Passaggio 6.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Passaggio 6.1.2.1.2.4

Dividi $3 \cdot (0)$ per $1$ .

$f (0) = - 2 \cos (3 \cdot (0))$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (0)$

Passaggio 6.1.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.2.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (0) = - 2$

Passaggio 6.1.2.5

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{4})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

$3$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{4})$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{4})$

Passaggio 6.2.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Riduci l'espressione $\frac{6 π}{3}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{4})$

Passaggio 6.2.2.3.1.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{4})$

Passaggio 6.2.2.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{4})$

Passaggio 6.2.2.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{4})$

Passaggio 6.2.2.3.2

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 π}{4})$

Passaggio 6.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 (π)}{4})$

Passaggio 6.2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cdot 0$

Passaggio 6.2.2.6

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 0$

Passaggio 6.2.2.7

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{4 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{3 (\frac{4 π}{3})}{4})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

$3$ e $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{4})$

Passaggio 6.3.2.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{12 π}{3}}{4})$

Passaggio 6.3.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Riduci l'espressione $\frac{12 π}{3}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $12 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{4})$

Passaggio 6.3.2.3.1.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 (1)}}{4})$

Passaggio 6.3.2.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 \cdot 1}}{4})$

Passaggio 6.3.2.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{4 π}{1}}{4})$

Passaggio 6.3.2.3.2

Dividi $4 π$ per $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 6.3.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 6.3.2.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (π)$

Passaggio 6.3.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 (- \cos (0))$

Passaggio 6.3.2.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.3.2.7

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.2.7.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2$

Passaggio 6.3.2.8

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2 π$ nell'espressione.

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{4})$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $3 (2 π)$ .

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 (π))}{4})$

Passaggio 6.4.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 (π))}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 (π))}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{3 (π)}{2})$

Passaggio 6.4.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (2 π) = - 2 \cdot 0$

Passaggio 6.4.2.4

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (2 π) = 0$

Passaggio 6.4.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{8 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{8 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{3 (\frac{8 π}{3})}{4})$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

$3$ e $\frac{8 π}{3}$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3}}{4})$

Passaggio 6.5.2.2

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{24 π}{3}}{4})$

Passaggio 6.5.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Riduci l'espressione $\frac{24 π}{3}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $24 π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3}}{4})$

Passaggio 6.5.2.3.1.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3 (1)}}{4})$

Passaggio 6.5.2.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3 \cdot 1}}{4})$

Passaggio 6.5.2.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{8 π}{1}}{4})$

Passaggio 6.5.2.3.2

Dividi $8 π$ per $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{8 π}{4})$

Passaggio 6.5.2.4

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.4.1

Scomponi $4$ da $8 π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 (2 π)}{4})$

Passaggio 6.5.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.4.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Passaggio 6.5.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Passaggio 6.5.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 π}{1})$

Passaggio 6.5.2.4.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (2 π)$

Passaggio 6.5.2.5

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (0)$

Passaggio 6.5.2.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cdot 1$

Passaggio 6.5.2.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2$

Passaggio 6.5.2.8

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & 2 \\ 2 π & 0 \\ \frac{8 π}{3} & - 2 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $2$

Periodo: $\frac{8 π}{3}$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & 2 \\ 2 π & 0 \\ \frac{8 π}{3} & - 2 \end{array}$

Passaggio 8