Calcolo Esempi

$y = x \sqrt{8 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = x \sqrt{8 - x^{2}}$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{8 - x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$8 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - 8$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 8$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$x^{2} \leq 8$

Passaggio 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{8}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica $\sqrt{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.5

Scrivi $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 1.2.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq 2 \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 1.2.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.2.6

Trova l'intersezione di $x \leq 2 \sqrt{2}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.7

Risolvi $- x \leq 2 \sqrt{2}$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 2 \sqrt{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 2 \sqrt{2}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 1.2.7.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 1.2.7.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 1.2.7.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Passaggio 1.2.7.1.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ come $- (2 \sqrt{2})$ .

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

Passaggio 1.2.7.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.7.2

Trova l'intersezione di $x \geq - 2 \sqrt{2}$ e $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

Passaggio 1.2.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Notazione intensiva:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Notazione degli intervalli:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Notazione intensiva:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 2

Per trovare i punti finali, sostituisci i limiti dei valori $x$ nel dominio in $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2 \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (- 2 \sqrt{2}) = (- 2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Passaggio 2.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 2.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Passaggio 2.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 2.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 2.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Passaggio 2.2.2.5

Calcola l'esponente.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- (4 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

Passaggio 2.2.4

Sottrai $8$ da $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

Passaggio 2.2.5

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \cdot 0$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.7.2

Moltiplica $0$ per $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0$

Passaggio 2.2.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Sostituisci la variabile $x$ con $2 \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (2 \sqrt{2}) = (2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Passaggio 2.4.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 2.4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Passaggio 2.4.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 2.4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 2.4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Passaggio 2.4.2.5

Calcola l'esponente.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- (4 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

Passaggio 2.4.4

Sottrai $8$ da $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.5

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \cdot 0$

Passaggio 2.4.7

Moltiplica $2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Passaggio 2.4.7.2

Moltiplica $0$ per $\sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 0$

Passaggio 2.4.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3

I punti finali sono $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$ .

$(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del punto finale dell'espressione radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $- 1.82842712$ di $x$ in $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . In questo caso, il punto è $(- 1.82842712, - 3.94569924)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.82842712$ nell'espressione.

$f (- 1.82842712) = (- 1.82842712) \sqrt{8 - {(- 1.82842712)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $- 1.82842712$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 3.34314575}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3.34314575$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 3.34314575}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Sottrai $3.34314575$ da $8$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{4.65685424}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 1.82842712$ per $\sqrt{4.65685424}$ .

$f (- 1.82842712) = - 3.94569924$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $- 3.94569924$ .

$y = - 3.94569924$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $- 0.82842712$ di $x$ in $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . In questo caso, il punto è $(- 0.82842712, - 2.24038746)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.82842712$ nell'espressione.

$f (- 0.82842712) = (- 0.82842712) \sqrt{8 - {(- 0.82842712)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 0.82842712$ alla potenza di $2$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.6862915}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0.6862915$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 0.6862915}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Sottrai $0.6862915$ da $8$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{7.31370849}$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $- 0.82842712$ per $\sqrt{7.31370849}$ .

$f (- 0.82842712) = - 2.24038746$

Passaggio 4.2.2.3

La risposta finale è $- 2.24038746$ .

$y = - 2.24038746$

Passaggio 4.3

Sostituisci il valore $0.17157287$ di $x$ in $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . In questo caso, il punto è $(0.17157287, 0.48438771)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.17157287$ nell'espressione.

$f (0.17157287) = (0.17157287) \sqrt{8 - {(0.17157287)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $0.17157287$ alla potenza di $2$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.02943725}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0.02943725$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 0.02943725}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Sottrai $0.02943725$ da $8$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{7.97056274}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $0.17157287$ per $\sqrt{7.97056274}$ .

$f (0.17157287) = 0.48438771$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $0.48438771$ .

$y = 0.48438771$

Passaggio 4.4

Sostituisci il valore $1.17157287$ di $x$ in $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . In questo caso, il punto è $(1.17157287, 3.01607027)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.17157287$ nell'espressione.

$f (1.17157287) = (1.17157287) \sqrt{8 - {(1.17157287)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Eleva $1.17157287$ alla potenza di $2$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 1.372583}$

Passaggio 4.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1.372583$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1.372583}$

Passaggio 4.4.2.1.3

Sottrai $1.372583$ da $8$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{6.62741699}$

Passaggio 4.4.2.2

Moltiplica $1.17157287$ per $\sqrt{6.62741699}$ .

$f (1.17157287) = 3.01607027$

Passaggio 4.4.2.3

La risposta finale è $3.01607027$ .

$y = 3.01607027$

Passaggio 4.5

Sostituisci il valore $2.17157287$ di $x$ in $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . In questo caso, il punto è $(2.17157287, 3.93544563)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.17157287$ nell'espressione.

$f (2.17157287) = (2.17157287) \sqrt{8 - {(2.17157287)}^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Eleva $2.17157287$ alla potenza di $2$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 4.71572875}$

Passaggio 4.5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4.71572875$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 4.71572875}$

Passaggio 4.5.2.1.3

Sottrai $4.71572875$ da $8$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{3.28427124}$

Passaggio 4.5.2.2

Moltiplica $2.17157287$ per $\sqrt{3.28427124}$ .

$f (2.17157287) = 3.93544563$

Passaggio 4.5.2.3

La risposta finale è $3.93544563$ .

$y = 3.93544563$

Passaggio 4.6

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0), (- 1.82842712, - 3.95), (- 0.82842712, - 2.24), (0.17157287, 0.48), (1.17157287, 3.02), (2.17157287, 3.94)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 \sqrt{2} & 0 \\ - 1.828 & - 3.95 \\ - 0.828 & - 2.24 \\ 0.172 & 0.48 \\ 1.172 & 3.02 \\ 2.172 & 3.94 \\ 2 \sqrt{2} & 0 \end{array}$

Passaggio 5