Calcolo Esempi

$\frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{2 x - 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 x - 1 \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$2 x \geq 1$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x \geq 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x \geq 1$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3

Imposta il denominatore in $\frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 1.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(\frac{1}{2}, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > \frac{1}{2}}$

Notazione degli intervalli:

$(\frac{1}{2}, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > \frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Per trovare il punto finale dell'espressione radicale, sostituisci il valore $x$ $\frac{1}{2}$ , che è il valore minimo nel dominio, in $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{1 - 1}$

Passaggio 2.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{0}$

Passaggio 2.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

$f (\frac{1}{2}) = Undefined$

Indefinito

Passaggio 3

Il punto finale dell'espressione radicale è $(\frac{1}{2}, Undefined)$ .

$(\frac{1}{2}, Undefined)$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del punto finale dell'espressione radicale.

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Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . In questo caso, il punto è $(1, 1)$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{(1) \sqrt{2 (1) - 1}}{2 (1) - 1}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $\sqrt{2 (1) - 1}$ per $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{2 (1) - 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{2 - 1}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{1}$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 - 1}}{1}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{1}}{1}$

Passaggio 4.1.2.3.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1}$

Passaggio 4.1.2.4

Dividi $1$ per $1$ .

$f (1) = 1$

Passaggio 4.1.2.5

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . In questo caso, il punto è $(2, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{(2) \sqrt{2 (2) - 1}}{2 (2) - 1}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{4 - 1}}{2 (2) - 1}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 (2) - 1}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{4 - 1}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.2.3

La risposta finale è $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.3

Sostituisci il valore $3$ di $x$ in $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . In questo caso, il punto è $(3, \frac{3 \sqrt{5}}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{(3) \sqrt{2 (3) - 1}}{2 (3) - 1}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{6 - 1}}{2 (3) - 1}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{2 (3) - 1}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{6 - 1}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 4.4

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(0.5, Undefined), (1, 1), (2, 1.15), (3, 1.34)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0.5 & Undefined \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.15 \\ 3 & 1.34 \end{array}$

Passaggio 5