Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{2} + x}$

Passaggio 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} + x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} + x \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} + x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1$

Passaggio 1.2.7

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Passaggio 1.2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 1.2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 1.2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

${(- 4)}^{2} - 4 \geq 0$

Passaggio 1.2.8.1.3

Il lato sinistro di $12$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 0.5$

Passaggio 1.2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $- 0.5$ nella diseguaglianza originale.

${(- 0.5)}^{2} - 0.5 \geq 0$

Passaggio 1.2.8.2.3

Il lato sinistro di $- 0.25$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 1.2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

${(2)}^{2} + 2 \geq 0$

Passaggio 1.2.8.3.3

Il lato sinistro di $6$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Vero

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Vero

Passaggio 1.2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 1$ o $x \geq 0$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

Passaggio 2

Poiché nel dominio non sono presenti solo numeri reali, $\sqrt{x^{2} + x}$ non è continua in tutti i numeri reali.

Non continuo

Passaggio 3