Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{e^{2 x}}{x^{10}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{2 x}$ e $g (x) = x^{10}$ .

$\frac{x^{10} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{{(x^{10})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{10})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{10} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{10 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $10$ per $2$ .

$\frac{x^{10} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{x^{10} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{x^{10} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{x^{10} (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Passaggio 4.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{10} (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{10}]}{x^{20}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 10$ .

$\frac{x^{10} (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (10 x^{9})}{x^{20}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$\frac{x^{10} (2 e^{2 x}) - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{10} e^{2 x} - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Passaggio 5.1.2

Riordina i fattori in $2 x^{10} e^{2 x} - 10 e^{2 x} x^{9}$ .

$\frac{2 x^{10} e^{2 x} - 10 x^{9} e^{2 x}}{x^{20}}$

Passaggio 5.2

Riordina i termini.

$\frac{2 e^{2 x} x^{10} - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Passaggio 5.3

Scomponi $2 e^{2 x} x^{9}$ da $2 e^{2 x} x^{10} - 10 e^{2 x} x^{9}$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $2 e^{2 x} x^{9}$ da $2 e^{2 x} x^{10}$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{9} (x) - 10 e^{2 x} x^{9}}{x^{20}}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $2 e^{2 x} x^{9}$ da $- 10 e^{2 x} x^{9}$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{9} (x) + 2 e^{2 x} x^{9} (- 5)}{x^{20}}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $2 e^{2 x} x^{9}$ da $2 e^{2 x} x^{9} (x) + 2 e^{2 x} x^{9} (- 5)$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{9} (x - 5)}{x^{20}}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $x^{9}$ e $x^{20}$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $x^{9}$ da $2 e^{2 x} x^{9} (x - 5)$ .

$\frac{x^{9} (2 e^{2 x} (x - 5))}{x^{20}}$

Passaggio 5.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.4.2.1

Scomponi $x^{9}$ da $x^{20}$ .

$\frac{x^{9} (2 e^{2 x} (x - 5))}{x^{9} x^{11}}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{9} (2 e^{2 x} (x - 5))}{x^{9} x^{11}}$

Passaggio 5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 e^{2 x} (x - 5)}{x^{11}}$