Calcolo Esempi

$y = \frac{5 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 11$ e $g (x) = 2 x + 4$ .

$\frac{(2 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 9 x + 11] - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} - 9 x + 11$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{(2 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 x + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + 0) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Somma $10 x - 9$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.13

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.14

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 + 0)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.15

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.15.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \cdot 2}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2.15.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2} - 9 x + 11)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1.1

Espandi $(2 x + 4) (10 x - 9)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (10 x - 9) + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 \cdot 10 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 \cdot 10 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 10 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $10$ .

$\frac{20 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.4

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.5

Moltiplica $10$ per $4$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.1.6

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Somma $- 18 x$ e $40 x$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $- 9$ per $- 2$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $11$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $10 x^{2}$ da $20 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 22 x - 36 + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.3

Somma $22 x$ e $18 x$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 36 - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.4

Sottrai $22$ da $- 36$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $2$ da $10 x^{2} + 40 x - 58$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $2$ da $10 x^{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 40 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Scomponi $2$ da $40 x$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.3

Scomponi $2$ da $- 58$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.4

Scomponi $2$ da $2 (5 x^{2}) + 2 (20 x)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.5

Scomponi $2$ da $2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 29)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.3.4.1

Scomponi $2$ da $2 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 (x) + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 x + 2 \cdot 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 (x + 2))}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.2

Applica la regola del prodotto a $2 (x + 2)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{4 {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Scomponi $2$ da $4 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

Passaggio 3.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

Passaggio 3.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$