Calcolo Esempi

$x^{4} + 3 x^{3} y^{2} = x - y^{4}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + 3 x^{3} y^{2}) = \frac{d}{d x} (x - y^{4})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 3 x^{3} y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3} y^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

$4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$4 x^{3} + 3 (2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.2.7

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 3 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2})$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{3} + 3 (2 x^{3} y y') + 3 (3 y^{2} x^{2})$

Passaggio 2.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$4 x^{3} + 6 (x^{3} y y') + 3 (3 y^{2} x^{2})$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 y^{2} x^{2}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$1 - (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$1 - (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 - (4 y^{3} y')$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$1 - 4 y^{3} y'$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$- 4 y^{3} y' + 1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} = - 4 y^{3} y' + 1$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $4 y^{3} y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} y' = 1$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $4 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3}$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $9 x^{2} y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x^{3} y y' + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

Passaggio 5.3

Scomponi $2 y y'$ da $6 x^{3} y y' + 4 y^{3} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $2 y y'$ da $6 x^{3} y y'$ .

$2 y y' (3 x^{3}) + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $2 y y'$ da $4 y^{3} y'$ .

$2 y y' (3 x^{3}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (3 x^{3}) + 2 y y' (2 y^{2})$ .

$2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

Passaggio 5.4

Dividi per $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ ciascun termine in $2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ ciascun termine in $2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{3 x^{3} + 2 y^{2}} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 5.4.2.3

Elimina il fattore comune di $3 x^{3} + 2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{3 x^{3} + 2 y^{2}} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 5.4.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (y (3 x^{3} + 2 y^{2}))} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (y (3 x^{3} + 2 y^{2}))} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.1

Scomponi $y$ da $- 9 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.2.1

Scomponi $y$ da $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{y (2 (3 x^{3} + 2 y^{2}))}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{y (2 (3 x^{3} + 2 y^{2}))}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$