Calcolo Esempi

$x \sin (y) + y \sin (x) = 6$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x \sin (y) + y \sin (x)) = \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \sin (y) + y \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (\cos (y) y') + \sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $\sin (y)$ per $1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + \frac{d}{d x} [y \sin (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y \sin (x)]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) + y \cos (x) + \sin (x) y'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$

Passaggio 3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y) = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $x \cos (y) y' + y \cos (x) + \sin (x) y' + \sin (y)$ .

$x y' \cos (y) + y \cos (x) + y' \sin (x) + \sin (y) = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $y \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) + \sin (y) = - y \cos (x)$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $\sin (y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' \cos (y) + y' \sin (x) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $x y' \cos (y) + y' \sin (x)$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da $x y' \cos (y)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $y' \sin (x)$ .

$y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (x \cos (y)) + y' (\sin (x))$ .

$y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$

Passaggio 5.4

Dividi per $x \cos (y) + \sin (x)$ ciascun termine in $y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $x \cos (y) + \sin (x)$ ciascun termine in $y' (x \cos (y) + \sin (x)) = - y \cos (x) - \sin (y)$ .

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x \cos (y) + \sin (x)$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x \cos (y) + \sin (x))}{x \cos (y) + \sin (x)} = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} + \frac{- \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{x \cos (y) + \sin (x)} - \frac{\sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.4.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y \cos (x) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Scomponi $- 1$ da $- y \cos (x)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.4.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- \sin (y)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - (\sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.4.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (y \cos (x)) - (\sin (y))$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.4.3.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.4.3.2.5.1

Riscrivi $- (y \cos (x) + \sin (y))$ come $- 1 (y \cos (x) + \sin (y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \cos (x) + \sin (y))}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.4.3.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cos (x) + \sin (y)}{x \cos (y) + \sin (x)}$