Calcolo Esempi

$f (x) = e^{3 x} \ln (2 x^{2} - 2)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{3 x}$ e $g (x) = \ln (2 x^{2} - 2)$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{2} - 2)] + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x^{2} - 2$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x^{2} - 2$ .

$e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{3 x} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x^{2} - 2$ .

$e^{3 x} (\frac{1}{2 x^{2} - 2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{2 x^{2} - 2}$ e $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 2] + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (4 x + \frac{d}{d x} [- 2]) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (4 x + 0) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3.7

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.7.1

Somma $4 x$ e $0$ .

$\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} (4 x) + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3.7.2

$4$ e $\frac{e^{3 x}}{2 x^{2} - 2}$ .

$\frac{4 e^{3 x}}{2 x^{2} - 2} x + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3.7.3

$\frac{4 e^{3 x}}{2 x^{2} - 2}$ e $x$ .

$\frac{4 e^{3 x} x}{2 x^{2} - 2} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3.7.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2 x^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1

Scomponi $2$ da $4 e^{3 x} x$ .

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 x^{2} - 2} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3.7.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.7.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2}) - 2} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3.7.4.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2}) + 2 (- 1)} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3.7.4.2.3

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2} - 1)} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3.7.4.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 e^{3 x} x)}{2 (x^{2} - 1)} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 3.7.4.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (e^{3 x} \cdot 3)$

Passaggio 5.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \ln (2 x^{2} - 2) (3 \cdot e^{3 x})$

Passaggio 6

Per scrivere $\ln (2 x^{2} - 2) (3 e^{3 x})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 e^{3 x} x}{x^{2} - 1} + \frac{\ln (2 x^{2} - 2) (3 e^{3 x}) (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln (2 x^{2} - 2) (3 e^{3 x}) (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 e^{3 x} x + 3 \ln (2 x^{2} - 2) e^{3 x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Passaggio 8.1.1.2

Semplifica $3 \ln (2 x^{2} - 2)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Passaggio 8.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} \cdot - 1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 8.1.1.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} - 1 \cdot (\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x})}{x^{2} - 1}$

Passaggio 8.1.1.5

Riscrivi $- 1 (\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x})$ come $- (\ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x})$ .

$\frac{2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} - \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 8.1.2

Riordina i fattori in $2 e^{3 x} x + \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x} x^{2} - \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) e^{3 x}$ .

$\frac{2 x e^{3 x} + x^{2} e^{3 x} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) - e^{3 x} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3})}{x^{2} - 1}$

Passaggio 8.2

Riordina i termini.

$\frac{2 e^{3 x} x + e^{3 x} x^{2} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3}) - e^{3 x} \ln ({(2 x^{2} - 2)}^{3})}{x^{2} - 1}$