Calcolo Esempi

$lim_{y \to 0} \frac{y^{2}}{1 - \cos (y)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{y \to 0} y^{2}}{lim_{y \to 0} 1 - \cos (y)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $y^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{y \to 0} y)}^{2}}{lim_{y \to 0} 1 - \cos (y)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $y$ inserendo $0$ per $y$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{y \to 0} 1 - \cos (y)}$

Passaggio 1.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 0} 1 - \cos (y)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $y$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 0} 1 - lim_{y \to 0} \cos (y)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $y$ tende a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{y \to 0} \cos (y)}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{y \to 0} y)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $y$ inserendo $0$ per $y$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{y \to 0} \frac{y^{2}}{1 - \cos (y)} = lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2}]}{\frac{d}{d y} [1 - \cos (y)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2}]}{\frac{d}{d y} [1 - \cos (y)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{y \to 0} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [1 - \cos (y)]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$ .

$lim_{y \to 0} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$lim_{y \to 0} \frac{2 y}{0 + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]}$

Passaggio 1.3.5

Calcola $\frac{d}{d y} [- \cos (y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- \cos (y)$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [\cos (y)]$ .

$lim_{y \to 0} \frac{2 y}{0 - \frac{d}{d y} [\cos (y)]}$

Passaggio 1.3.5.2

La derivata di $\cos (y)$ rispetto a $y$ è $- \sin (y)$ .

$lim_{y \to 0} \frac{2 y}{0 - - \sin (y)}$

Passaggio 1.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{y \to 0} \frac{2 y}{0 + 1 \sin (y)}$

Passaggio 1.3.5.4

Moltiplica $\sin (y)$ per $1$ .

$lim_{y \to 0} \frac{2 y}{0 + \sin (y)}$

Passaggio 1.3.6

Somma $0$ e $\sin (y)$ .

$lim_{y \to 0} \frac{2 y}{\sin (y)}$

Passaggio 2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $y$ .

$2 lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin (y)}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2 \frac{lim_{y \to 0} y}{lim_{y \to 0} \sin (y)}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite di $y$ inserendo $0$ per $y$ .

$2 \frac{0}{lim_{y \to 0} \sin (y)}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{y \to 0} y)}$

Passaggio 3.1.3.2

Calcola il limite di $y$ inserendo $0$ per $y$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.2

$lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin (y)} = lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [y]}{\frac{d}{d y} [\sin (y)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2 lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [y]}{\frac{d}{d y} [\sin (y)]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d y} [\sin (y)]}$

Passaggio 3.3.3

La derivata di $\sin (y)$ rispetto a $y$ è $\cos (y)$ .

$2 lim_{y \to 0} \frac{1}{\cos (y)}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $y$ tende a $0$ .

$2 \frac{lim_{y \to 0} 1}{lim_{y \to 0} \cos (y)}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $y$ tende a $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{y \to 0} \cos (y)}$

Passaggio 4.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2 \frac{1}{\cos (lim_{y \to 0} y)}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $y$ inserendo $0$ per $y$ .

$2 \frac{1}{\cos (0)}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti da $\frac{1}{\cos (0)}$ a $\sec (0)$ .

$2 \sec (0)$

Passaggio 6.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$