Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x^{3} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $4 x^{3} - 12 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $4 x^{2}$ da $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x^{2} (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 3$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{4} - 4 x^{3} + 7$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 7$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 4 {(0)}^{3} + 7$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 + 7$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$0 + 0 + 7$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 7$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $7$ .

$7$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 7$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$81 - 4 {(3)}^{3} + 7$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$81 - 4 \cdot 27 + 7$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $27$ .

$81 - 108 + 7$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $108$ da $81$ .

$- 27 + 7$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $- 27$ e $7$ .

$- 20$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 7), (3, - 20)$

Passaggio 5