Calcolo Esempi

$\frac{lim_{x \to 1} u^{4} - 1}{u^{3} - 1}$

Passaggio 1

Calcola il limite di $u^{4} - 1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{u^{4} - 1}{u^{3} - 1}$

Passaggio 2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi $u^{4}$ come ${(u^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(u^{2})}^{2} - 1}{u^{3} - 1}$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{{(u^{2})}^{2} - 1^{2}}{u^{3} - 1}$

Passaggio 2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = u^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 1)}{u^{3} - 1}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 1^{2})}{u^{3} - 1}$

Passaggio 2.1.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = u$ e $b = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{u^{3} - 1}$

Passaggio 2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{u^{3} - 1^{3}}$

Passaggio 2.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = u$ e $b = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $u$ per $1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1^{2})}$

Passaggio 2.2.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1)}$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $u - 1$ .

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Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1)}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1)}{u^{2} + u + 1}$