Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{4 - 3})}{h}$

Passaggio 1

Sottrai $3$ da $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{h}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite di $5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - (3 + 0)} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - 1 \cdot 3} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - 3} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{5 - \sqrt{1} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.2.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 1 - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.2.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.6.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - 1 \cdot 1)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - 1)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.2.7

Sottrai $1$ da $5$ .

$\frac{5 - 1 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.2.8

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{5 - 1 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.3

Sottrai $1$ da $5$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.4

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - 1 \cdot 1)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - 1)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.3

Sottrai $1$ da $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - 1 \cdot 4$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $5$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6

Calcola $\frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - (3 + h)}$ come ${(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $h$ è $- \frac{d}{d h} [{(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [{(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ e $g (h) = 4 - (3 + h)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - (3 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - (3 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - (3 + h)$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- (3 + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- (3 + h)])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $4$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- (3 + h)])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- (3 + h)$ rispetto a $h$ è $- \frac{d}{d h} [3 + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d h} [3 + h])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (\frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [h]))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $3$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + \frac{d}{d h} [h]))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.10

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.11

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.13.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.13.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.15

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.17

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.18

$\frac{1}{2}$ e ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.19

$\frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.20

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- 1 \cdot {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.21

Riscrivi $- 1 {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ come $- {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.22

Sposta ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- 1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.23

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - - \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.24

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 1 \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6.25

Moltiplica $\frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.7

Calcola $\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.7.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - 1 \cdot 3 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.8.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - 3 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.8.2.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.8.2.3

Somma $0$ e $\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.8.2.4

Somma $\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 2.5

Riscrivi ${(1 - h)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{1 - h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - h}} \cdot 1$

Passaggio 2.6

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{1 - h}}$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - h}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - h}}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - h}}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - h}}$

Passaggio 3.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - h}}$

Passaggio 3.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} h}}$

Passaggio 3.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{h \to 0} h}}$

Passaggio 3.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 3.7.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 3.7.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 3.7.2.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 3.7.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 3.7.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$