Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{4}} {\tan (x)}^{\tan (2 x)}$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${\tan (x)}^{\tan (2 x)}$ come $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})$ spostando $\tan (2 x)$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Passaggio 2

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Passaggio 3

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

Passaggio 4

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ per $x$ tendente a $\frac{π}{4}$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.68539816 & - 0.99327506 \\ 0.77539816 & - 0.99993332 \\ 0.78439816 & - 0.99999933 \end{array}$

Passaggio 5

Quando i valori $x$ tendono a $\frac{π}{4}$ , i valori della funzione tendono a $- 1$ . Di conseguenza, il limite di $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ per $x$ tendente a $\frac{π}{4}$ da sinistra è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6

Considera il limite destro.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

Passaggio 7

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ per $x$ tendente a $\frac{π}{4}$ da destra.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.88539816 & - 0.99327506 \\ 0.79539816 & - 0.99993332 \\ 0.78639816 & - 0.99999933 \end{array}$

Passaggio 8

Quando i valori $x$ tendono a $\frac{π}{4}$ , i valori della funzione tendono a $- 1$ . Di conseguenza, il limite di $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ per $x$ tendente a $\frac{π}{4}$ da destra è $- 1$ .

$e^{- 1}$

Passaggio 9

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{e}$

Forma decimale:

$0.36787944 \dots$