Calcolo Esempi

lim x \to \frac{π}{2} {tan (x)}^{cos (x)}

$lim_{x \to \frac{π}{2}} {\tan (x)}^{\cos (x)}$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi

${\tan (x)}^{\cos (x)}$ come

$e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$

Passaggio 1.2

Espandi

$\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})$ spostando

$\cos (x)$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Passaggio 2

Imposta il limite come un limite sinistro.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Passaggio 3

Risolvi il limite sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (x) \ln (\tan (x))}$

Passaggio 3.2

Riscrivi

$\cos (x) \ln (\tan (x))$ come

$\frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}}$

Passaggio 3.3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \ln (\tan (x))}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

Passaggio 3.3.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa

$\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

Passaggio 3.3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Converti da

$\frac{1}{\cos (x)}$ a

$\sec (x)$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sec (x)}}$

Passaggio 3.3.1.3.2

Per i valori

$x$ tendenti a

$\frac{π}{2}$ da sinistra, i valori della funzione aumentano senza limite.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.3.1.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.3.2

Poiché

$\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}$

Passaggio 3.3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = \ln (x)$ e

$g (x) = \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.2.2

La derivata di

$\ln (u)$ rispetto a

$u$ è

$\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.3

Riscrivi

$\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.5

Scrivi

$1$ come una frazione con denominatore

$1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.6.1

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.6.2

Moltiplica

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per

$1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.7

La derivata di

$\tan (x)$ rispetto a

$x$ è

$\sec^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.8

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e

$\sec^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \sec^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.9.1.1

Riscrivi

$\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.9.1.2

Applica la regola del prodotto a

$\frac{1}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.9.1.3

Elimina il fattore comune di

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.9.1.3.1

Scomponi

$\cos (x)$ da

$\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.9.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.9.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.9.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.9.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.9.2.1

Riscrivi

$\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ come un prodotto.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.9.2.2

Moltiplica

$\frac{1}{\cos (x)}$ per

$\frac{1}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 3.3.3.10

Riscrivi

$\frac{1}{\cos (x)}$ come

$\cos^{- 1} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)]}}$

Passaggio 3.3.3.11

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = x^{- 1}$ e

$g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.11.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Passaggio 3.3.3.11.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è

$n u^{n - 1}$ dove

$n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Passaggio 3.3.3.11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Passaggio 3.3.3.12

La derivata di

$\cos (x)$ rispetto a

$x$ è

$- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}}$

Passaggio 3.3.3.13

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

Passaggio 3.3.3.14

Moltiplica

$\cos^{- 2} (x)$ per

$1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

Passaggio 3.3.3.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.15.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)}}$

Passaggio 3.3.3.15.2

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ e

$\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 3.3.5

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Moltiplica

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ per

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \sin (x)}}$

Passaggio 3.3.5.2

Eleva

$\sin (x)$ alla potenza di

$1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin (x)}}$

Passaggio 3.3.5.3

Eleva

$\sin (x)$ alla potenza di

$1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}}$

Passaggio 3.3.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}}}$

Passaggio 3.3.5.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Passaggio 3.3.6

Elimina il fattore comune di

$\cos^{2} (x)$ e

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Scomponi

$\cos (x)$ da

$\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Passaggio 3.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.2.1

Scomponi

$\cos (x)$ da

$\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (\sin^{2} (x))}}$

Passaggio 3.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Passaggio 3.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Passaggio 3.3.7

Scomponi

$\sin (x)$ da

$\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}}$

Passaggio 3.3.8

Frazioni separate.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 3.3.9

Converti da

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a

$\cot (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)}$

Passaggio 3.3.10

Converti da

$\frac{1}{\sin (x)}$ a

$\csc (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cot (x)}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando

$x$ tende a

$\frac{π}{2}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

Passaggio 3.4.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la cosecante è continua.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

Passaggio 3.4.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

Passaggio 3.5

Calcola il limite inserendo

$\frac{π}{2}$ per tutte le occorrenze di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Calcola il limite di

$x$ inserendo

$\frac{π}{2}$ per

$x$ .

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

Passaggio 3.5.2

Calcola il limite di

$x$ inserendo

$\frac{π}{2}$ per

$x$ .

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

Passaggio 3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Il valore esatto di

$\csc (\frac{π}{2})$ è

$1$ .

$e^{1 \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica

$\cot (\frac{π}{2})$ per

$1$ .

$e^{\cot (\frac{π}{2})}$

Passaggio 3.6.3

Il valore esatto di

$\cot (\frac{π}{2})$ è

$0$ .

$e^{0}$

Passaggio 3.7

Qualsiasi valore elevato a

$0$ è

$1$ .

$1$

Passaggio 4

Imposta il limite come un limite destro.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Passaggio 5

Calcola i limiti inserendo il valore al posto della variabile.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di

$e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$ inserendo

$\frac{π}{2}$ per

$x$ .

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\tan (\frac{π}{2}))}$

Passaggio 5.2

Riscrivi

$\tan (\frac{π}{2})$ in termini di seno e coseno.

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (\frac{π}{2})})}$

Passaggio 5.3

Il valore esatto di

$\cos (\frac{π}{2})$ è

$0$ .

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$

Passaggio 5.4

Poiché

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$ è indefinito, il limite non esiste.

$Non esiste$

Passaggio 6

Se uno dei due limiti unilateri non esiste, il limite non esiste.

$Non esiste$