Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 x^{2} + 1}}{3 x - 5}$

Passaggio 1

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{\frac{3 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{3 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{3 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 2.2.2

Dividi $2$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}{3 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 2.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 2.6

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{3 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Passaggio 4.3

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{3 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{3 - 5 \cdot 0}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{3 - 5 \cdot 0}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{3 + 0}$

Passaggio 6.2.2

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Forma decimale:

$0.47140452 \dots$