Calcolo Esempi

$lim_{x \to 8} x \tan (\frac{π}{x})$

Passaggio 1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \tan (\frac{π}{x})$

Passaggio 2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Passaggio 3

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Passaggio 4

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Passaggio 5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Passaggio 6

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Passaggio 6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{8})$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

$π$ e $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \tan (\frac{π}{8})$

Passaggio 7.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{8})$ è $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $\frac{π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$8 \cdot \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Passaggio 7.2.2

Applica la formula di bisezione per la tangente.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})$

Passaggio 7.2.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché la tangente è positiva nel primo quadrante.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

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Passaggio 7.2.4.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Passaggio 7.2.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Passaggio 7.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Passaggio 7.2.4.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 7.2.4.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 7.2.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 7.2.4.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Passaggio 7.2.4.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.4.8.1

Elimina il fattore comune.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Passaggio 7.2.4.8.2

Riscrivi l'espressione.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Passaggio 7.2.4.9

Moltiplica $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ per $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Passaggio 7.2.4.10

Moltiplica $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ per $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Passaggio 7.2.4.11

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Passaggio 7.2.4.12

Semplifica.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.13

Applica la proprietà distributiva.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.14

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.4.14.1

Elimina il fattore comune.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.14.2

Riscrivi l'espressione.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.15

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.4.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.2

Moltiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Passaggio 7.2.4.16.2.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.4.16.3.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 7.2.4.16.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.16.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.3.1.5

Calcola l'esponente.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.4

Elimina il fattore comune di $2 \sqrt{2} - 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.16.4.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.4.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.4.3

Scomponi $2$ da $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

Passaggio 7.2.4.16.4.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.4.16.4.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

Passaggio 7.2.4.16.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 7.2.4.16.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

Passaggio 7.2.4.16.4.4.4

Dividi $\sqrt{2} - 1$ per $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

Passaggio 7.2.4.16.5

Applica la proprietà distributiva.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

Passaggio 7.2.4.16.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

Passaggio 7.2.4.17

Somma $2$ e $1$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Passaggio 7.2.4.18

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Forma decimale:

$3.31370849 \dots$