Calcolo Esempi

$y^{2} (y^{2} - 4) = x^{2} (x^{2} - 5)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{2} (y^{2} - 4)) = \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 5))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = y^{2} - 4$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [y^{2} - 4] + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$y^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y^{2} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y^{2} (2 y y' + 0) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.6

Somma $2 y y'$ e $0$ .

$y^{2} (2 y y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Sposta $y$ .

$y \cdot y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{1} y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{1 + 2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.8.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.9

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2} - 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 \cdot (y^{2} - 4) y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.10

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{2} - 4) y y'$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} + 2 \cdot - 4) y y'$

Passaggio 2.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} y + 2 \cdot - 4 y) y'$

Passaggio 2.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{2} y y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Passaggio 2.11.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.4.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{1} y^{2}) y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Passaggio 2.11.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{1 + 2} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Passaggio 2.11.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Passaggio 2.11.4.4

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

Passaggio 2.11.4.5

Somma $y^{3} (2 y')$ e $2 y^{3} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.4.5.1

Riordina $y^{3}$ e $2$ .

$2 \cdot y^{3} y' + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

Passaggio 2.11.4.5.2

Somma $2 \cdot y^{3} y'$ e $2 y^{3} y'$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 5$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$x^{2} (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x^{3} + (x^{2} - 5) (2 x)$

Passaggio 3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 5$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot (x^{2} - 5) x$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 5) x$

Passaggio 3.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 5 x$

Passaggio 3.7.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 5 x$

Passaggio 3.7.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 5 x$

Passaggio 3.7.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 5 x$

Passaggio 3.7.3.4

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} - 10 x$

Passaggio 3.7.3.5

Somma $2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 10 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $4 y y'$ da $4 y^{3} y' - 8 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $4 y y'$ da $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $4 y y'$ da $- 8 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 10 x$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $4 y y'$ da $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ .

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$

Passaggio 5.2

Dividi per $4 y (y^{2} - 2)$ ciascun termine in $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $4 y (y^{2} - 2)$ ciascun termine in $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Passaggio 5.2.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Passaggio 5.2.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 10 x$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $4 y (y^{2} - 2)$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$