Calcolo Esempi

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{2 \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} 1 - \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $θ$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} 1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $θ$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $0$ per $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (θ)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin^{2} (lim_{θ \to 0} θ)}$

Passaggio 2.1.3.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $0$ per $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $1$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $- \cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 2.3.4.2

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 2.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 + 1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 2.3.4.4

Moltiplica $\sin (θ)$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 + \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 2.3.5

Somma $0$ e $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Passaggio 2.3.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 u \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Passaggio 2.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Passaggio 2.3.7

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \sin (θ) \cos (θ)}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Riordina i fattori di $2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 2.3.8.2

Riordina $2 \cos (θ)$ e $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\sin (θ) \cdot 2 \cos (θ)}$

Passaggio 2.3.8.3

Riordina $\sin (θ)$ e $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \cdot \sin (θ) \cos (θ)}$

Passaggio 2.3.8.4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\sin (2 θ)}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Passaggio 3.1.2.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $0$ per $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Passaggio 3.1.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Passaggio 3.1.3.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $0$ per $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Passaggio 3.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\sin (2 θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = 2 θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Passaggio 3.3.3.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $2 θ$ rispetto a $θ$ è $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2 \frac{d}{d θ} [θ]}$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2}$

Passaggio 3.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{2 \cos (2 θ)}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ)}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $θ$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

Passaggio 4.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

Passaggio 4.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

Passaggio 4.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $θ$ inserendo $0$ per $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $0$ per $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 6.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Passaggio 6.3.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 6.5

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.25$