Calcolo Esempi

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $0$ per $θ$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Passaggio 1.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} θ}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite di $θ$ inserendo $0$ per $θ$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{1}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Dividi $\cos (θ)$ per $1$ .

$lim_{θ \to 0} \cos (θ)$

Passaggio 4.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\cos (lim_{θ \to 0} θ)$

Passaggio 5

Calcola il limite di $θ$ inserendo $0$ per $θ$ .

$\cos (0)$

Passaggio 6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$1$