Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 8} \frac{x^{2} + 9 x + 8}{x^{2} + 7 x - 8}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} + 9 x + 8}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 7 x - 8}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 9 x + lim_{x \to - 8} 8}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 7 x - 8}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 9 x + lim_{x \to - 8} 8}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 7 x - 8}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 8}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 7 x - 8}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 8$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to - 8} x + 8}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 7 x - 8}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $- 8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 8$ per $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 lim_{x \to - 8} x + 8}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 7 x - 8}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 8$ per $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 \cdot - 8 + 8}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 7 x - 8}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{64 + 9 \cdot - 8 + 8}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 7 x - 8}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Moltiplica $9$ per $- 8$ .

$\frac{64 - 72 + 8}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 7 x - 8}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $72$ da $64$ .

$\frac{- 8 + 8}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 7 x - 8}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Somma $- 8$ e $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 7 x - 8}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 7 x - lim_{x \to - 8} 8}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 7 x - lim_{x \to - 8} 8}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7 lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 8}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 8$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 8}$

Passaggio 1.1.3.5

Calcola il limite inserendo $- 8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 8$ per $x$ .

$\frac{0}{{(- 8)}^{2} + 7 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 8}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 8$ per $x$ .

$\frac{0}{{(- 8)}^{2} + 7 \cdot - 8 - 1 \cdot 8}$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{64 + 7 \cdot - 8 - 1 \cdot 8}$

Passaggio 1.1.3.6.1.2

Moltiplica $7$ per $- 8$ .

$\frac{0}{64 - 56 - 1 \cdot 8}$

Passaggio 1.1.3.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{0}{64 - 56 - 8}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Sottrai $56$ da $64$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Passaggio 1.1.3.6.3

Sottrai $8$ da $8$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 8} \frac{x^{2} + 9 x + 8}{x^{2} + 7 x - 8} = lim_{x \to - 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x + 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x - 8]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x + 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x - 8]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 9 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x - 8]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x - 8]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x - 8]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x - 8]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 9 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x - 8]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 9 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x - 8]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $2 x + 9$ e $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 9}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x - 8]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 7 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 9}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 9}{2 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 9}{2 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Passaggio 1.3.9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 9}{2 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Passaggio 1.3.9.3

Moltiplica $7$ per $1$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 9}{2 x + 7 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Passaggio 1.3.10

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 9}{2 x + 7 + 0}$

Passaggio 1.3.11

Somma $2 x + 7$ e $0$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x + 9}{2 x + 7}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 2 x + 9}{lim_{x \to - 8} 2 x + 7}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 2 x + lim_{x \to - 8} 9}{lim_{x \to - 8} 2 x + 7}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 9}{lim_{x \to - 8} 2 x + 7}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 8$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + 9}{lim_{x \to - 8} 2 x + 7}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 8$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + 9}{lim_{x \to - 8} 2 x + lim_{x \to - 8} 7}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + 9}{2 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 7}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $7$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 8$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x + 9}{2 lim_{x \to - 8} x + 7}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $- 8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 8$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot - 8 + 9}{2 lim_{x \to - 8} x + 7}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 8$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot - 8 + 9}{2 \cdot - 8 + 7}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$\frac{- 16 + 9}{2 \cdot - 8 + 7}$

Passaggio 4.1.2

Somma $- 16$ e $9$ .

$\frac{- 7}{2 \cdot - 8 + 7}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$\frac{- 7}{- 16 + 7}$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 16$ e $7$ .

$\frac{- 7}{- 9}$

Passaggio 4.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{7}{9}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{7}{9}$

Forma decimale:

$0.\overline{7}$